¿Por qué no existen estos límites?

Answer 1

Te diriges en las líneas correctas, así que veamos las cosas un poco más de cerca. [matemáticas] A [/ matemáticas] es una transformación del espacio tridimensional, con tres vectores propios reales y tres valores propios reales distintos. Entre otras cosas, esto significa que los vectores propios [matemática] b_1, b_2, b_3 [/ matemática] son ​​linealmente independientes y, dado que tenemos tres, cualquier vector real en el espacio tridimensional puede escribirse como una combinación lineal única de esos vectores propios . [matemáticas] v = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] a_i [/ ​​matemáticas]. Mientras estamos en eso, dejemos que los valores propios sean [math] \ lambda_1, \ lambda_2, \ lambda_3 [/ math].

Entonces

[matemáticas] A ^ kv = a_1 \ lambda_1 ^ k b_1 + a_2 \ lambda_2 ^ k b_2 + a_3 \ lambda_3 ^ k b_3. [/ math]

Supongamos ahora que [math] \ lim_ {k \ to \ infty} A ^ k [/ math] existe. Entonces [math] \ lim_ {k \ to \ infty} A ^ kv [/ math] también existiría, para todos [math] v [/ math]. Es suficiente encontrar un solo vector que contradiga eso, y [math] v = b_1 [/ math] (o de hecho cualquier vector con múltiplo distinto de cero de [math] b_1 [/ math] en el espacio) hará el truco .

Finalmente, como [matemáticas] w = b_2 + 2 b_3 [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] A ^ kw = \ lambda_2 ^ k b_2 + 2 \ lambda_3 ^ k b_3 [/ matemáticas]

y, al conectar los valores, vemos que tiende a [math] 2 b_3. [/ math]