¿Por qué existen los métodos de interpolación Newton hacia atrás y Newton hacia adelante cuando alguno de ellos puede resolver problemas?

Answer 1

Ambos métodos se utilizan para encontrar el valor de una función en un punto dado.

Supongamos que x0, x1, x2, …………. , xn son los puntos nodales dados, entonces el método de diferencia hacia adelante de newton es mejor para los puntos que están más cerca de x0, mientras que el método de diferencia hacia atrás de newton es mejor para los puntos que están más cerca de xn.
FUENTE: LIBRO Métodos numéricos para la computación científica y de ingeniería por MKJain, SRK Iyengar, RKJain

Suponiendo teóricamente que los cálculos se realizan en una aritmética infinita, los polinomios son los mismos, por lo que dan la misma respuesta.
Pero dado que la computadora y la aritmética aplicada son finitas, al calcular los polinomios no resultan ser iguales (al menos no en todos los casos). y tenga en cuenta que cuantas más operaciones aritméticas realice, más perderá precisión.
entonces, si la entrada x está más cerca de xi (uno de los datos que ya tenemos); luego, elegir xi como x0 da una mejor precisión si estamos utilizando la fórmula de diferencias directas en nuestro sistema aritmético finito (o en el caso de las diferencias hacia atrás eligiendo xi como xn) (o incluso en el caso de las diferencias centradas eligiendo xi como el datos medios)
ya que
por ejemplo, en el caso de xi como x0 usando la fórmula de diferencias directas; la f (x0) es un término único (sin aritmética adicional para perder precisión como otros términos) y dado que suponemos que si x está cerca de xi, entonces f (x) también está cerca de f (xi). así obtenemos el menor error posible al calcular f (x) (que también es el caso de las diferencias centradas y las diferencias de fondo).

FUENTE: Math Stack Exchange