Creo que lo que buscas es una manera simple de describir el conjunto de soluciones. Así es como se ve el conjunto de respuestas:
La línea azul es simplemente x = y , que incluye el caso x = y = 1 que mencionó.
El naranja es el interesante, y no hay necesidad de usar “funciones de Lambert” ni nada tan exótico. Deje x = t ^ ( t / ( t – 1)) ey = t ^ (1 / ( t – 1)), e intente dejar que t oscile entre 1/10 y 10.
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Es un divertido ejercicio de álgebra para probar la identidad de que xey satisfacen la ecuación. Comience notando que t / ( t – 1) = 1 + 1 / ( t – 1) y debe obtenerlo en aproximadamente tres líneas.
Desearía poder decirte cómo llegar a esta solución. Se me vino a la cabeza pero no puedo entender cómo llegó allí. Por lo tanto, no tengo una prueba de que no haya otras soluciones en el espacio de los números reales.
Es divertido notar dónde se cruzan las dos curvas. Es justo donde x e y son iguales a e = 2.718281828 …, la base de los logaritmos naturales.
Dado que esto se fusionó con una pregunta sobre soluciones enteras , y muchos han notado que {2,4} y {4,2} son los únicos con x ≠ y, ¿qué tal un premio de consolación de algunos números racionales que funcionan?
27/8 y 9/4
256/81 y 64/27
3125/1024 y 625/256
46656/15625 y 7776/3125
823543/279936 y 117649/46656
Hay un número infinito de esos. Simplemente intente t = ( n +1) / n para varios enteros positivos n .