Cómo resolver: [matemáticas] x ^ y = y ^ x [/ matemáticas]

Creo que lo que buscas es una manera simple de describir el conjunto de soluciones. Así es como se ve el conjunto de respuestas:

La línea azul es simplemente x = y , que incluye el caso x = y = 1 que mencionó.

El naranja es el interesante, y no hay necesidad de usar “funciones de Lambert” ni nada tan exótico. Deje x = t ^ ( t / ( t – 1)) ey = t ^ (1 / ( t – 1)), e intente dejar que t oscile entre 1/10 y 10.

Es un divertido ejercicio de álgebra para probar la identidad de que xey satisfacen la ecuación. Comience notando que t / ( t – 1) = 1 + 1 / ( t – 1) y debe obtenerlo en aproximadamente tres líneas.

Desearía poder decirte cómo llegar a esta solución. Se me vino a la cabeza pero no puedo entender cómo llegó allí. Por lo tanto, no tengo una prueba de que no haya otras soluciones en el espacio de los números reales.

Es divertido notar dónde se cruzan las dos curvas. Es justo donde x e y son iguales a e = 2.718281828 …, la base de los logaritmos naturales.

Dado que esto se fusionó con una pregunta sobre soluciones enteras , y muchos han notado que {2,4} y {4,2} son los únicos con x ≠ y, ¿qué tal un premio de consolación de algunos números racionales que funcionan?

27/8 y 9/4

256/81 y 64/27

3125/1024 y 625/256

46656/15625 y 7776/3125

823543/279936 y 117649/46656

Hay un número infinito de esos. Simplemente intente t = ( n +1) / n para varios enteros positivos n .

Una forma más obvia de encontrar otro valor entero que no sea solo [math] x = y [/ math] puede verse así.

La ecuación es;

[matemáticas] x ^ {y} = y ^ {x} [/ matemáticas]

Sea y igual a;

[matemáticas] y = x ^ {z} [/ matemáticas] (1)

La ecuación se vuelve;

[matemáticas] x ^ {x ^ {z}} = (x ^ {z}) ^ {x} [/ matemáticas]

Que se convierte en;

[matemáticas] x ^ {x ^ {z}} = x ^ {x * z} [/ matemáticas]

Tome el [math] log_x [/ math] de ambos tamaños para;

[matemáticas] x ^ {z} = x * z [/ matemáticas] (2)

Como [matemáticas] y = x ^ {z} [/ matemáticas] (1) si z es igual a 1, y = x. Y la ecuación anterior (2) se convierte en x = x. Esto nos muestra que la ecuación funciona para y = x.

Los otros enteros que funcionan en la ecuación (2), donde z no es 1 es el número 2;

[matemáticas] 2 ^ 2 = 2 * 2 [/ matemáticas]

Esto significa que x es 2 ey es [matemática] 2 ^ 2 = 4 [/ matemática].

Entonces, aparte de y = x, hay x = 2 e y = 4.

Si puede encontrar cualquier otro número entero donde [math] x ^ {z} = x * z [/ math] (2) tendrá otra respuesta.

Como ha señalado Sudha Sengar, hay un valor distinto de 1 que cumple la ecuación.

Para mayor claridad matemática, separemos “x” e “y” de la siguiente manera:

[matemáticas] x ^ {y} = y ^ {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] o, y ln (x) = xln (y) [/ matemáticas]

[matemáticas] o, \ frac {lnx} {x} – \ frac {lny} {y} = 0 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que la ecuación es no lineal y contiene dos variables independientes “x” e “y”. Necesitará otra ecuación para resolver esta ecuación, por ejemplo, [matemáticas] x – y = 0 [/ matemáticas].

En ausencia de otra ecuación, podemos asumir con seguridad que el conjunto de soluciones es una colección infinita de números reales y / o complejos.

EDITAR: después de volver a leer la pregunta después de 7 horas, veo que el OP realmente quería expresar o resolver “y” en función de x.

Las soluciones serán infinitas con y resuelto (o “expresado”) en términos de x como:

[matemáticas] y = \ frac {xln (x)} {W (xln (x))} [/ matemáticas]

donde [math] W () [/ math] es la función lambert W (función de logaritmo del producto).

Estoy de acuerdo con Monish Chitrakar, que “Para mayor claridad matemática, separemos” x “e” y “de la siguiente manera:

xy = yx

o, yln (x) = xln (y)

o, lnxx − lnyy = 0

Tenga en cuenta que la ecuación es no lineal y contiene dos variables independientes “x” e “y”. Necesitará otra ecuación para resolver esta ecuación, por ejemplo, x − y = 0.

En ausencia de otra ecuación, podemos suponer con seguridad que el conjunto de soluciones es una colección infinita de números reales y / o complejos “.

buena respuesta señor

A2A, gracias.

Estamos buscando todos los pares [math] xy [/ math] (digamos, en el dominio [math] x> 0, y> 0 [/ math]) de modo que [math] {\ ln (x) \ over x } = {\ ln (y) \ over y} [/ math].

Para [math] s> e [/ math], la función

[matemáticas] f (s) = {\ ln (s) \ over s} [/ matemáticas]

es estrictamente monótono, por lo tanto, 1 a 1, por lo tanto, las únicas soluciones para [math] x \ geq e [/ math] son ​​[math] x = y [/ math].

¡He encontrado que esta ecuación lleva mucho tiempo pero es increíblemente adictiva!

Encontré muchas más soluciones como verá en el diagrama a continuación:

EDITAR: Gracias a Marcelo Arruda de Brasil, se ha encontrado un nuevo conjunto de soluciones y las he agregado al siguiente diagrama:

Si la ecuación y ^ x = x ^ y tiene soluciones complejas como x = a + bi e y = c + id , necesitaríamos un plano x complejo y un plano y complejo que requeriría un espacio de 4 dimensiones . Sin embargo, puede haber algunos valores a, b, c, d tales que (a + ib) ^ (c + id) = (c + id) ^ (a + ib) ¡ pero todavía estoy buscando!

Si desea ver cómo hice para encontrar estas soluciones, consulte el ARTÍCULO 24 en

http://mathematicalgems.weebly.com

Por supuesto, la igualdad [matemática] x ^ y = y ^ x [/ matemática] se cumple cuando [matemática] x = y [/ matemática]; Esa es la solución trivial. { x , y } = {2, 4} también funciona. Para cualquier cosa más allá de eso, creo que necesitará emplear las funciones de Lambert W.

Esta es una ecuación trascendental. La única solución entera que conozco es X = 2 e Y = 4.

Sin embargo, puede usar métodos numéricos para resolver la ecuación. Usted sabe que log X / X = log Y / Y, por lo que debe analizar la función f (X) = log X / X.

Si grafica la función, encontrará que para valores de X entre 1 y e, hay una solución.

Si x = 2 e y = 4
x ^ y = 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 = 16
y ^ x = 4 ^ 2 = 16
En otros casos si x = y = 1
Entonces también se hace realidad.

Aunque esto parece simple, no lo es. Quedémonos con reales positivos.

Obviamente, cuando x = y, esas son soluciones.

Entonces nos gustaría soluciones donde x no es y.

Una simple es x = 2 e y = 4 (y viceversa).

Lo anterior ofrece las únicas soluciones enteras que conozco.

Para obtener soluciones no triviales, uno debe usar las funciones Lambert-W. No queremos ir allí, pero puedes buscarlo en Google si tu corazón lo desea.

He calculado algunos valores no triviales para usted que satisfacen x ^ y = y ^ x.

x y

5 1.7649219145257758…

6 1.6242438458589112…

8 1.4625014315037788…

Debe haber un valor distinto de y para cualquier x.

Si eres ambicioso, puedes comenzar con el número 9 y adivinar que y = 1.4.

Esto no está mal ya que 9 ^ 1.4 = 21.67

y 1.4 ^ 9 = 20.66

Entonces puede escribir un programa para ajustar el 1.4 hasta obtener 9 ^ xa cerca de x ^ 9 como desee.

Por simetría, cada combinación x = y es una solución

Para evitar 0 ^ 0 haz x = y! = 0

Si quisiste decir x! = Y luego tomar log

x log y = y log x Para cualquier y fijo, tenemos y log x- (log y) x = 0

Esto solo se puede resolver numéricamente por Newton Raphson o métodos similares