Como resolver esto

Answer 1

* A2A *

Deje [math] y_i ^ 2 = x_i – i ^ 2, y_i> 0 [/ math].

Entonces, la ecuación dada se convierte en:

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ 5 iy_i = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ 5 y_i ^ 2 + 55} {2} = X [/ matemáticas]

Reorganizando tenemos,

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ 5y_i (y_i – 2i) = -55 [/ matemáticas]

Como RHS es negativo, esto implica [matemática] 0 <y_i <2i [/ matemática]

Tenga en cuenta que, LHS es cero en [matemáticas] y_i = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] y_i = 2i [/ matemáticas]. Y LHS es simétrico, es decir, si reemplaza [math] y_i [/ ​​math] con [math] 2i – y_i [/ ​​math], la función no cambia. Entonces, LHS es un tazón invertido (es cuadrático) y su mínimo se obtiene en [math] y_i = i [/ math] debido a la simetría. Pero, LHS en [math] y_i = i [/ math] es [math] -55 [/ math]. Por lo tanto, esta es la única solución posible. Por lo tanto, [matemáticas] y_i = i \ Rightarrow x_i = 2i ^ 2 \ Rightarrow X = 55 [/ math].

Answer 2

-A2A-

El punto clave es notar que el LHS usa raíces cuadradas en la resta de [math] x_i [/ ​​math] y el cuadrado de un número i. Para que [math] \ sqrt {x_i – i ^ 2} [/ math] genere un número natural, [math] x_i [/ ​​math] debe ser el múltiplo entero más pequeño [math] 2i ^ 2 [/ math] para que [math ] \ sqrt {x_i -i ^ 2} \ = \ sqrt {i ^ 2} \ = i [/ math].

[math] \ Rightarrow \ i \ sqrt {x_i -i ^ 2} \ = i ^ 2 [/ math]

Entonces, [matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ 5 i \ sqrt {x_i -i ^ 2} \ = \ sum_ {i = 1} ^ 5 i ^ 2 \ = 55 [/ matemáticas]

Además, RHS: [matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ 5 \ frac {x_i} {2} \ = \ sum_ {i = 1} ^ 5 \ frac {2i ^ 2} {2} \ = \ sum_ { i = 1} ^ 5 i ^ 2 = 55 [/ matemáticas]

¡Espero que ayude!

Answer 3

Reescribe estas cosas como:

[matemáticas] x_1-2 [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {x_1-1} + x_2-4 \ sqrt {x_2-4} + x_3-6 \ sqrt {x_3-9} + x_4-8 \ sqrt {x_4 -16} + x_5-10 \ sqrt {x_5-25} = 0. [/matemáticas]

Completando a cuadrados obtenemos:

[matemáticas] (\ sqrt {x_1-1} -1) ^ 2 + (\ sqrt {x_2-4} -2) ^ 2 + (\ sqrt {x_3-9} -3) ^ 2 + (\ sqrt {x_4 -16} -4) ^ 2 + (\ sqrt {x_5-25} -5) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] \ sqrt {x_i -i ^ 2} = i [/ math] para [math] i = 1,2, \ ldots, 5. [/ Math]

Por lo tanto, [matemáticas] X = \ sum_ {i = 1} ^ {5} i ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 5 ^ 2 = 55. [/ Matemáticas]