P. ¿Cómo puedo resolver el sistema?
[matemáticas] x + 2 ^ x = y + 2 ^ y [/ matemáticas] y
[matemáticas] x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 12 [/ matemáticas] ?
1. Fase 1: molienda
La primera ecuación es [matemáticas] f (x) = f (y) [/ matemáticas]. Entonces [math] x = y [/ math] es una solución. Con [matemáticas] x = y [/ matemáticas] la segunda ecuación se convierte en
[matemáticas] 3x ^ 2 = 12 [/ matemáticas]. (1.1)
Las soluciones para (1.1) son fáciles de encontrar.
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P. ¿Son las soluciones para (1.1) las únicas soluciones para el problema original?
2. Fase 2: Pensamiento
Para buscar soluciones donde [math] x \ ne y [/ math], no podemos simplemente jugar con símbolos. Tenemos que pensar en lo que realmente dice la primera ecuación. Mire la función [matemáticas] f (x) = x + 2 ^ x [/ matemáticas]. La función [matemática] f (x) [/ matemática] asigna el eje x uno a uno en el eje y. * Es decir, si sé f (x) puedo encontrar una x única utilizando la función inversa [matemáticas] f ^ {- 1} (f (x)) = x [/ matemáticas].
No voy a encontrar la función inversa [matemáticas] f ^ {- 1} (x) [/ matemáticas]. Solo me interesa saber que f es invertible. No necesito mirar adentro. (¿Recuerdas lo que les sucedió a los nazis en Raiders of the Lost Ark cuando miraron dentro del Arca del Pacto? No siempre quieres mirar dentro).
¿De qué sirve la invertibilidad? Reescribe la primera ecuación en el sistema original como
[matemáticas] f (x) = f (y) [/ matemáticas].
Ahora tome la función inversa de ambos lados:
[matemáticas] f ^ {- 1} (f (x)) = f ^ {- 1} (f (y)) [/ matemáticas].
Eso es equivalente a
[matemáticas] x = y. [/matemáticas]
Entonces, el caso x = y en la sección 1 anterior es la única solución.
* Debido a que [math] f (x) [/ math] es continuo, aumenta monotónicamente con x (se muestra tomando la derivada), toma valores positivos arbitrariamente grandes cuando x hace lo mismo, y toma valores negativos arbitrariamente grandes cuando y hace lo mismo . Entonces, según el Teorema monotónico de Thingy, [math] f (x) [/ math] es una ‘biyección’ que en lenguaje humano normal significa que mapea cada elemento x en [math] \ mathbb {R} [/ math] en exactamente uno elemento [math] f (x) [/ math] en [math] \ mathbb {R} [/ math]. Lo que significa, por lógica simple, que también mapea cada elemento [math] f (x) [/ math] nuevamente en exactamente una x.