¿Cuál es una explicación del teorema del cociente-resto, también conocido como algoritmo de división?

Answer 1

En primer lugar, reformulemos esto de una manera más comprensible. Le pide que pruebe el algoritmo de división, es decir, que para un número no negativo [matemática] n [/ matemática], números [matemática] q, r [/ matemática] para los cuales [matemática] n = aq + r, \; 0 \ le r <a [/ math] son ​​únicos para un valor fijo de [math] a [/ math].

Haremos la inducción en [math] n [/ math].

[matemática] n = 1 [/ matemática] (el caso n = 0 es trivial, así que elegí 1 como el caso base).

[matemáticas] 1 = qa + r [/ matemáticas]
Como [math] r \ lt a [/ math], [math] qa [/ math] tiene que ser no negativo (¿por qué?) Y dado que [math] r \ ge0 [/ math] y [math] a \ ge2 [/ matemática] tiene que ser cero, es decir, [matemática] q = 0 [/ matemática] y [matemática] r = 1 [/ matemática]. Eso es único

Según la hipótesis de inducción, existen un cociente único y el resto para el número [matemático] n [/ matemático] dividido por [matemático] a [/ matemático], es decir

[matemáticas] n = qa + r [/ matemáticas]

Ahora, suma 1 a ambos lados para obtener

[matemáticas] n + 1 = qa + r + 1 [/ matemáticas]

Hay dos opciones posibles: [matemática] r + 1 = a [/ matemática] y [matemática] r + 1 \ lt a [/ matemática] porque [matemática] r \ lt a [/ matemática]. Si el último es verdadero, [matemática] n + 1 [/ matemática] tiene un cociente único y el resto en forma [matemática] q, r + 1 [/ matemática]. Si lo primero es cierto, entonces podemos escribir [matemática] qa + r + 1 = qa + a = (q + 1) a + 0 [/ matemática] nuevamente dándonos un par único de cociente y resto en forma [matemática] q + 1,0 [/ math] que prueba el paso de inducción.

Answer 2

Hola querida,

Si a y d son números naturales, con d # 0, se puede demostrar que existen enteros únicos q y r, de modo que a = qd + r y 0 ≤ r

Dividendo = Divisor × Cociente + Resto

Si desea un conocimiento completo de la tormenta restante, haga todo tipo de preguntas en diferentes exámenes gubernamentales. Entonces te doy una lista de llamadas con esto, puedes descifrar cualquier pregunta sobre el resto de la apuesta. Mira la siguiente lista de reproducción

TEOREMA DEL RESTANTE: TEOREMA DEL RESTANTE – YouTube

Gracias.

Answer 3

Este teorema a veces se llama algoritmo de división.

Declaración intuitiva del teorema.

Cuando divide un número entero positivo, llamado divisor, en otro, llamado dividendo, obtiene un cociente y un resto que puede ser 0. El cociente es el número más grande cuyo producto con el divisor es menor o igual que el dividendo. El resto es lo que queda.

Ejemplo

Cuando divide 5 en 13, el cociente es 2 y el resto es 3. 2 es el cociente porque 2 por 5 es 10, que es menor o igual a 13, mientras que 3 por 5 es 15, que es mayor que 13. El resto es 3 ya que 3 es igual a 15 menos el producto de 5 por 2.

Declaración formal del teorema.

Un poco más formalmente, dado un entero positivo a, el divisor, y otro b, el dividendo, hay un entero único q tal que aq ≤ b < a ( q +1). El resto, r = b – aq, es un número entero en el rango de 0 a a –1.

Historia

Tres de los libros en Elementos de Euclides discuten la teoría de números. Él utilizó implícitamente este teorema en todos esos libros, pero nunca lo tomó en cuenta. No sé quién lo declaró explícitamente primero. Una prueba requiere inducción matemática. Fue probado por Grassman en 1860, pero la primera prueba puede ser anterior a eso.

La prueba

La prueba es por inducción sobre el dividendo b. Aquí hay una prueba con algunos pequeños detalles omitidos.

Caso base. b = 1. Si a = 1, entonces q = 1 es el divisor único (se necesita una prueba corta), pero si a> 1, entonces q = 0 es el divisor único (se necesita una prueba corta).

Parada inductiva. Suponga que la declaración se cumple para b. Para mostrarlo también vale para b +1. Como se cumple para b, entonces b = aq + r donde q es el entero único tal que aq ≤ b < a ( q +1). Para mostrar: hay un entero único q ‘ tal que aq’ ≤ b + 1 < a ( q ‘ +1). En el caso de que b + 1 < a ( q +1), entonces q ‘= q funciona (se necesita una prueba corta). En el caso de que b + 1 = a ( q +1), entonces q ‘= q +1 funciona (se necesita una prueba breve). El caso de que b + 1 > a ( q +1) no puede ocurrir (se necesita una prueba breve).

Answer 4

Para comprender intuitivamente, imagine compartir una cantidad de galletas, por ejemplo, entre algunos niños.

Lo que dice es que puedes darle a cada niño la misma cantidad de galletas, hasta que llegues a un punto en el que no haya suficiente para dar la vuelta (el resto). El punto importante es que el número sobrante es estrictamente menor que el número de niños … porque si tuvieras más galletas que niños, entonces podrías darte uno al otro.

Por otro lado, la capacidad de hacer esto (división con restos) es increíblemente poderosa. Esencialmente, es lo que le permite probar que cualquier número entero puede factorizarse de forma única en números primos. De hecho, hay muchos “anillos” (generalizaciones de números) en los que se puede dividir con restos (polinomios, por ejemplo), y todos ellos también tienen una factorización única.

Personalmente, prefiero la prueba (no la mía) que dice así:

Dados algunos enteros positivos a & b, defina R como el conjunto de enteros r = b-na para todos los enteros n, y luego configure R + como el subconjunto de r en R de modo que r> = 0. Ahora R + es un conjunto no entero de enteros positivos (al menos b está en R), por lo que, al ordenar bien los números naturales, R + tiene un elemento mínimo, por ejemplo, r = b-qa.

Ahora, si r> a entonces ra> = 0, también ra = b- (q-1) a está en R, entonces ra sería un miembro de R +, lo que contradice el hecho de que r es mínimo. Por lo tanto, existe r con 0 <= r

Para la unicidad, simplemente tenga en cuenta que si también tuviéramos b = pa + s para algunos p (<> q) y s (0 <= s q o q> p, asuma lo primero, luego (pq) a = (rs). Sin embargo, pq es un número entero positivo, y también lo es al menos 1. Por lo tanto, rs> = a, entonces r> = s + a> = a, contradiciendo el hecho de que 0 <= r

Answer 5

Que puede dividir cualquier número n de manera uniforme en d partes, pero que finalmente le quedará r .

Suponga que divide 14 entre 4. Puede dar 3 a cada uno de los 4 y tener un sobrante de 2. Entonces 3 es el cociente y 2 es el resto. 14 = 3 x 4 + 2.

Matemáticamente, cualquier número n puede escribirse como n = q x d + r. Por supuesto que le gustaría r < n , de lo contrario podría continuar y dar uno más a cada uno de los d .