Un rayo o línea que viaja a lo largo de la línea 3x-4y = 5 después de reflejarse desde una línea l viaja a lo largo de la línea 5x + 12y = 13. ¿Cómo puedo encontrar la ecuación de la línea l?

Answer 1

Comencemos escribiendo las dos ecuaciones en forma estándar; primero el rayo incidente:

[matemáticas] y = \ frac {3} {4} x – \ frac {5} {4} [/ matemáticas]

Y luego el rayo reflejado:

[matemáticas] y = – \ frac {5} {12} x + \ frac {13} {12} [/ matemáticas]

Aquí hay una foto:

El rayo incidente se muestra en verde; el rayo reflejado en azul. Los ángulos de los dos rayos, con respecto al eje x , se muestran como [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math], respectivamente. La línea roja continua representa el plano reflector; La línea roja punteada es la normal a ese plano. Finalmente, [math] \ gamma [/ math] es el ángulo de lo normal con respecto al eje x .

Podemos resolver las dos ecuaciones anteriores para encontrar el punto donde se cruzan los dos rayos; lo hacen en [matemáticas] x = 2, y = 1/4 [/ matemáticas]. Entonces ese es un punto en la línea que representa el plano reflectante.

No voy a entrar aquí, pero no debería ser demasiado difícil demostrar que el valor de [math] \ gamma [/ math] es solo el promedio de [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math]:

[matemáticas] \ gamma = \ frac {\ alpha + \ beta} {2} [/ matemáticas]

O:

[matemáticas] 2 \ gamma = \ alpha + \ beta [/ matemáticas]

Por razones que quedarán claras en breve, ahora voy a tomar la tangente de ambos lados:

[matemáticas] \ tan {2 \ gamma} = \ tan {(\ alpha + \ beta)} [/ matemáticas]

Y ahora voy a sustituir un par de fórmulas tangentes conocidas:

[matemáticas] \ frac {2 \ tan {\ gamma}} {1 – \ tan ^ {2} {\ gamma}} = \ frac {\ tan {\ alpha} + \ tan {\ beta}} {1 – \ tan {\ alpha} \ tan {\ beta}} [/ math]

De las fórmulas anteriores:

[matemáticas] \ tan {\ alpha} = \ frac {3} {4}, \ tan {\ beta} = \ frac {-5} {12} [/ matemáticas]

Sustituyendo estos en la ecuación anterior da:

[matemáticas] \ frac {2 \ tan {\ gamma}} {1 – \ tan ^ {2} {\ gamma}} = \ frac {16} {63} [/ matemáticas]

Y resolver para [math] \ tan {\ gamma} [/ math] da:

[matemáticas] \ tan {\ gamma} = \ frac {1} {8}, -8 [/ matemáticas]

para las dos soluciones. El valor [math] \ frac {1} {8} [/ math] da la pendiente de la línea normal, mientras que el valor [math] -8 [/ math] es la pendiente de la línea que representa el plano reflectante. Entonces la ecuación de la línea del plano reflectante es:

[matemáticas] y = -8x + b [/ matemáticas]

(donde [math] b [/ math] es la intersección en y ), y también sabemos que la línea pasa por el punto [math] (2, \ frac {1} {4}) [/ math]. Un poco de álgebra nos da la respuesta final:

[matemáticas] y = -8x + \ frac {65} {4} [/ matemáticas]