¿Puedes encontrar dos matrices cuadradas [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] para que [matemática] AB = I [/ matemática] mientras [matemática] BA \ ne I [/ matemática]?

Answer 1

No.

Si [math] A [/ math] y [math] B [/ math] son ​​matrices cuadradas y [math] AB = I [/ math], entonces [math] A [/ math] y [math] B [ / matemáticas] tienen rango completo, ya que [matemáticas] I [/ matemáticas] tiene rango completo. (Tenga en cuenta que esto no es necesariamente cierto si uno de ellos no es una matriz cuadrada). Por lo tanto, no son singulares. Para que podamos escribir

[matemáticas] A ^ {- 1} AB = A ^ {- 1} [/ matemáticas], entonces [matemáticas] B = A ^ {- 1} [/ matemáticas]

y

[matemática] ABB ^ {- 1} = B ^ {- 1} [/ matemática], entonces [matemática] A = B ^ {- 1}. [/ matemática]

Por lo tanto

[matemáticas] BA = A ^ {- 1} B ^ {- 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] BABA = A ^ {- 1} B ^ {- 1} BA = A ^ {- 1} A = I. [/ matemáticas]

Como [math] AB = I [/ math], [math] B (AB) A = BA = I [/ math], lo que demuestra que si [math] A [/ math] y [math] B [/ math] son ambas matrices cuadradas y [matemáticas] AB = I [/ matemáticas], luego [matemáticas] BA = I [/ matemáticas] también.

Sin embargo, tenga en cuenta que si [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] no son matrices cuadradas y [matemática] AB = I [/ matemática], entonces [matemática] BA [/ matemática] podría no ser igual a [matemáticas] I [/ matemáticas]. Por ejemplo, si [math] A = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix} [/ math] y [math] B = A ^ T [/ math], entonces [matemática] AB = I [/ matemática] pero [matemática] BA \ ne I [/ matemática].

Answer 2

AB = I dice que B es un inverso a la derecha de A. La pregunta realmente es, ¿es posible que B no sea un inverso a la izquierda? Supongamos que existe un inverso izquierdo de A, llámelo C. Multiplique por C a la izquierda, y ahora CAB = C. Pero CA = I, y así B = C y BA = I después de todo.

Solo hay un pequeño detalle técnico. Acabamos de demostrar que si una matriz tiene inversas izquierda y derecha, entonces son iguales. ¿Es posible que una matriz pueda tener un inverso a la derecha, pero no un inverso a la izquierda? Ciertamente hay entidades algebraicas en las que algo como esto no es cierto; así que para terminar nuestra prueba, necesitaremos usar algo específico para las matrices; por ejemplo, determinantes.

AB = I implica que det (A) .det (B) = det (I) = 1, lo que en particular significa que det (B) no es igual a 0. Como arriba, multiplicamos por B a la izquierda, y BAB = B (AB) = B y, por lo tanto, (BA) B = B. Reorganización, (BA-I) B = 0. Pero B tiene un determinante distinto de cero y, por lo tanto, B tiene un inverso derecho. Multiplique por eso para obtener BA-I = 0.

Answer 3

Como todos los demás dijeron, la respuesta es no. Pero hay mapas lineales (entre espacios vectoriales de dimensiones infinitas) [matemática] T, S [/ matemática] tal que [matemática] TS = I [/ matemática] mientras [matemática] ST \ ne I. [/ matemática] Tome la izquierda y mapas de desplazamiento a la derecha [matemática] T (x_1, x_2, \ puntos) = (x_2, x_3, \ puntos) [/ matemática] y [matemática] S (x_1, x_2, \ puntos) = (0, x_1, x_2, \ puntos). [/ math] En el caso de dimensión finita tenemos el mapa determinante para demostrar que esto no es posible, ¡pero no en el caso de dimensión infinita!