Primero, examinemos qué matrices “son realmente”: cuando multiplica una matriz por las coordenadas de un punto, le da las coordenadas de un nuevo punto. De esta manera, podemos pensar en una matriz como una transformación que convierte puntos en el espacio en diferentes puntos en el espacio. Y de esto se trata la aritmética de matrices: las matrices representan transformaciones (específicamente, las llamadas transformaciones “lineales”).
El determinante de una transformación es solo el factor por el cual explota el volumen (en el sentido apropiado para el número de dimensiones; “área” en 2d, “longitud” en 1d, etc.). Si el determinante es 3, triplica los volúmenes; si el determinante es 1/2, reduce a la mitad los volúmenes, y así sucesivamente.
(El único matiz para agregar a esto es que en realidad estamos hablando de volumen “orientado”. Es decir, nuestra transformación puede o no convertir las cifras al revés (por ejemplo, en 2d, podría girar en sentido horario en sentido antihorario; en 3d, podría convertir las manos izquierdas en manos derechas). Si convierte las cifras al revés, su determinante se considera negativo).
Entonces, por ejemplo, en 3d: cualquier rotación tiene el determinante 1 porque deja el volumen sin cambios. Escalar todo por un factor de 2 tiene determinante [matemática] 2 ^ 3 [/ matemática] porque ese es el factor por el cual aumenta el volumen. Proyectar todo en un plano tiene el determinante 0, porque lo aplana todo al volumen 0. Cualquier reflejo tiene el determinante -1, porque lo vuelve todo al revés pero de lo contrario deja el volumen sin cambios. Y así…
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Finalmente, una observación útil: si toma una transformación que multiplica el volumen por, digamos, 5, y la sigue con una transformación que multiplica el volumen por 3, entonces, en general, el volumen se multiplicará por 5 * 3. Multiplicar matrices equivale a encadenar transformaciones de principio a fin de esta manera, por lo que el determinante de un producto de matrices es el producto de sus determinantes.
[La razón por la que una transformación lineal tiene que hacer explotar los volúmenes de todas las regiones por el mismo factor, si te importa, es esta: siempre puedes pensar en cualquier región como compuesta por muchas regiones pequeñas, todas idénticas excepto por su posición. Cada una de estas pequeñas regiones se transforma de la misma manera, excepto por la posición (esta es la “linealidad”), por lo que la gran región explota en el mismo factor que cada una de las pequeñas regiones. Por lo tanto, puede pensar en el determinante como la cantidad por la cual su pequeña forma favorita escala en volumen, y puede estar seguro de que todas las demás regiones también se escalan por el mismo factor.]
Este es un cuadrilátero formado por dos vectores (a, b) y (c, d). Si crea una matriz desde los lados (será una matriz de 2 × 2), el determinante (valor absoluto) es igual al área de la forma. 
