¿Es el conjunto de vectores [math] \ {(5,0,0) + t (1,0,5): t \ in \ mathbb {R} \} [/ math] un conjunto de ejemplo que no es un subespacio de [matemáticas] \ mathbb {R} ^ 3 [/ matemáticas]?

Answer 1

Digamos que queremos que el conjunto [math] \ {(a, b, c) + t (d, e, f): t \ in \ mathbb {R} \} [/ math] sea un subespacio lineal de [math ] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math].

Para que sea un subespacio lineal, debe cerrarse bajo adición.
Entonces [math] ((a, b, c) + t (d, e, f)) + ((a, b, c) + s (d, e, f)) [/ math] debería estar en el conjunto . Entonces deberíamos poder escribir [matemáticas] 2 (a, b, c) + (t + s) (d, e, f) [/ matemáticas] como [matemáticas] (a, b, c) + k (d , e, f) [/ matemáticas]
Esto significa que [matemáticas] (a, b, c) = m (d, e, f) [/ matemáticas] para algunos m.

Entonces, su generalización es casi correcta: un conjunto de líneas es un subespacio de [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] si y solo si (a, b, c) es un múltiplo escalar de (d, e, f )
Tenga en cuenta que en este caso el conjunto de líneas es igual a [math] \ {t (d, e, f): t \ in \ mathbb {R} \} [/ math]
Se verifica fácilmente que este conjunto contiene el vector cero y está cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar.

(No sé la definición exacta de un conjunto de líneas, pero creo que el subespacio cero sería uno, por lo que e, f y g podrían ser ceros por lo que sé)

Answer 2

Sí, lo es, pero no porque (5,0,0) no es 0.

En su ejemplo, si un vector de inicio es (5,0,25), será un subespacio porque le dará 0 cuando t = -5.

Tiene razón: una línea es un subespacio solo si incluye 0. Pero hay muchas formas de parametrización de la misma línea.