¿Cuál es una explicación de la DFT / FFT desde una perspectiva de álgebra lineal?

Answer 1

Desde un punto de vista de álgebra lineal, estás tratando el espacio de todas las tuplas posibles de N muestras como un espacio de producto interno N-dimensional sobre los números complejos. Es decir, lo estás tratando como un espacio vectorial más una operación interna del producto. Estás utilizando el producto interno más simple posible, que es básicamente el producto Dot complejo.

Luego, está utilizando un conjunto particular de vectores base que son funciones exponenciales complejas de diferentes frecuencias que se han muestreado en los mismos N puntos que los datos, y que son ortogonales con respecto a la operación interna del producto. Es decir, si toma el producto interno de cualquier par de vectores de base, obtiene 1 si son iguales y 0 si no lo son.

Entonces, el DFT equivale a tomar el producto interno del vector de datos con cada uno de los vectores base a su vez. Debido a que este es un espacio vectorial, se garantiza que el vector de datos se puede escribir como una suma de las funciones básicas. Tomar el producto interno de los datos con un vector base reduce a cero la contribución de todos los otros vectores base y devuelve el coeficiente del vector restante.