Sí, puede usar operaciones de columna para encontrar el inverso (manera fácil de ver esto: las operaciones de columna en [matemáticas] A [/ matemáticas] son operaciones de fila en [matemáticas] A ^ T [/ matemáticas] y [matemáticas] (A ^ T) ^ {- 1} = (A ^ {- 1}) ^ T [/ matemáticas]).
Lo que no puede hacer es mezclar operaciones de fila y columna. Echemos un vistazo a lo que realmente está haciendo cuando aplica operaciones de fila para encontrar el inverso. Cada operación de fila es equivalente a la multiplicación a la izquierda por una matriz elemental. Comenzando con la ecuación [matemática] AA ^ {- 1} = I [/ matemática], estás multiplicando a la izquierda una serie de matrices elementales en ambos lados de la ecuación (es decir, aplicando una serie de operaciones de fila en [matemática] A [/ matemática] y [matemática] I [/ matemática]) hasta que la ecuación se convierta en [matemática] IA ^ {- 1} = A ^ {- 1} [/ matemática], en cuyo punto la matriz original [matemática] A [/ math] se ha reducido a la matriz de identidad y viceversa.
Del mismo modo, cada operación de columna corresponde a la multiplicación a la derecha por una matriz elemental. Por lo tanto, aplicar operaciones de columna para encontrar el inverso es equivalente a multiplicar a la derecha la ecuación [matemática] A ^ {- 1} A = I [/ matemática] por matrices elementales.
Observe la diferencia en las ecuaciones: [matemática] AA ^ {- 1} = I [/ matemática] y [matemática] A ^ {- 1} A = I [/ matemática]. No puede mezclar operaciones de fila y columna porque no puede usar la misma ecuación para la multiplicación izquierda y derecha (porque aunque [matemática] A [/ matemática] y [matemática] A ^ {- 1} [/ matemática] conmutan, después de cualquier operación trivial de fila o columna, la matriz ya no es [matemática] A [/ matemática] y, por lo tanto, no puede conmutar con [matemática] A ^ {- 1} [/ matemática], por lo que no puede cambiar el orden hacia adelante y hacia atrás en entre para aplicar operaciones de fila y columna).
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¿Dónde no puedes usar operaciones de columna? No puede usarlos para resolver un sistema lineal de ecuaciones representadas en forma de matriz aumentada [matemáticas] [A | B] [/ math] de la forma habitual: cada fila representa una ecuación, por lo que si usa operaciones de columna, las ecuaciones en sí mismas cambiarán, cambiando así las soluciones. Podrías representar la ecuación en la forma
[matemáticas] \ begin {bmatrix} A ^ T \\ \ hline \\ B ^ T \ end {bmatrix} [/ math]
y aplicar operaciones de columna en eso, pero eso es trivialmente equivalente a aplicar operaciones de columna en [matemáticas] [A | B] [/ matemáticas] (mientras que el uso de operaciones de fila y operaciones de columna para encontrar el inverso de una matriz son significativamente diferentes).