¿Qué opciones son necesariamente verdaderas?

Answer 1

1. Verdadero La matriz es similar a la de la forma canónica de Jordan ya que consideramos que el campo son los números complejos. Entonces se ve así

con 0 en todas partes excepto valores propios en la diagonal y quizás algunos 1 en el superdiagonal. Pero si hay algún 1 en el superdiagonal, entonces ningún poder de la matriz puede ser la identidad. (Si la potencia de una matriz es [matemática] I [/ matemática], entonces lo mismo es cierto para cualquier matriz similar).

2. no es necesariamente cierto. Tome [matemáticas] A = \ begin {bmatrix} i \ end {bmatrix} [/ math]. [matemática] A ^ 4 = 1 [/ matemática], pero [matemática] A + A ^ 2 + A ^ 3 \ neq 0 [/ matemática].

3. Verdadero Todos los valores propios, los [math] \ lambda_i [/ ​​math] ‘s en la parte 1, son [math] k ^ {\ rm th} [/ math] raíces de la unidad. Entonces, la suma de las huellas es la suma de los poderes de estas raíces de la unidad. Como [math] \ lambda_i [/ ​​math] es una raíz de la unidad distinta de [math] 1 [/ math], por lo tanto [math] 1+ \ lambda_i + \ cdots + \ lambda_i ^ {k-1} = 0 [/ math] , y así [math] \ lambda_i + \ cdots + \ lambda_i ^ {k-1} = – 1 [/ math]. Hay [math] n [/ math] tales sumas, una para cada entrada en la diagonal, por lo que su suma es [math] -n [/ math].

4. no es necesariamente cierto. El mismo contraejemplo que 2.