¿Cuál es una forma intuitiva de pensar si un conjunto de vectores es linealmente independiente o linealmente dependiente?

Answer 1

Considere un piso de baldosas. Digamos que te permití dar un paso hacia adelante o 1 paso hacia la derecha. Puede realizar cualquiera de estas operaciones tantas veces como desee, pero solo estas dos. Luego, te desafío a caminar 3 pasos hacia adelante y 4 pasos hacia la derecha. Entonces dices, eso es fácil; simplemente camine 1 paso hacia adelante 3 veces, luego 1 paso hacia la derecha 4 veces. Y estarías en lo cierto.

Entonces, consideremos otro conjunto de operaciones. Te doy la posibilidad de ir 1 paso hacia adelante, 1 paso hacia la derecha o 1 paso diagonal en la dirección NE (primero a la derecha y luego hacia arriba). El mismo desafío existe. Entonces, al principio, haces lo obvio. Camina 1 paso hacia adelante 3 veces y luego camina 1 paso hacia la derecha 4 veces. Pero ahora hay otras opciones. Puede tomar 3 pasos diagonales en la dirección NE y luego 1 paso a la derecha.

La razón por la que existen múltiples soluciones a este desafío es porque el conjunto que le he dado [1,0], [0,1] y [1,1] no son linealmente independientes. Cualquiera de los tres vectores se puede componer usando los otros dos. La independencia lineal implica que hay una solución única para cada mosaico. Tenga en cuenta que no podemos decir necesariamente cuál de los vectores es linealmente dependiente. Al igual que en el escenario anterior con Bruno Mars, puedes eliminarme a mí oa mi padre y aún así obtener los mismos resultados. La intuición dice que [1,1] es el “hombre extraño”, pero eso es solo porque consideramos que es más fácil trabajar con el conjunto {[0,1], [1,0]}. Sin embargo, se muestra fácilmente que se puede llegar a cada mosaico con {[0,1], [1,0]} utilizando {[0,1], [1,1]} o {[1,0] , [1,1]}. Sin embargo, podemos decir que el conjunto de los vectores depende linealmente.

Entonces para revisar. El conjunto {[0,1], [1,0], [1,1]} no es linealmente independiente porque:
– Intuitivamente, al menos uno de los vectores en el conjunto contiene información ya existente en los otros dos vectores
– Algebraicamente, cualquiera de los vectores se puede representar como una combinación lineal de los otros dos.

La respuesta fue escrita originalmente por Trevor Squires,

Answer 2

La definición estándar de [math] v_1, \ ldots, v_k [/ math] siendo linealmente dependiente es que 0 puede formarse como una combinación lineal no trivial de [math] v_1, \ ldots, v_k [/ math]. A saber:
[matemática] c_1v_1 + \ ldots + c_kv_k = 0 [/ matemática] (donde [matemática] c_i [/ ​​matemática] no son todos cero)

Pero si lo piensa un poco, eso es realmente equivalente a decir que algún vector [math] v_i [/ ​​math] puede expresarse como una combinación lineal de los otros vectores restantes.

Por ejemplo, (1,3,2) (1,1,1), (0,1,0.5) depende linealmente porque (1,3,2) se puede “construir” a partir de (1,1,1) y (0,1,0.5). A saber:
(1,3,2) = 1 (1,1,1) + 2 (0,1,0.5)

Entonces (1,3,2) “depende” de los otros vectores. En un conjunto de vectores linealmente independientes, tal dependencia no puede existir.

Answer 3

También puede pensar en la dimensión de su envergadura. Si los vectores [math] n [/ math] son ​​linealmente independientes, entonces el espacio que abarcan tendrá dimensión [math] n. [/ math] Si son dependientes, su extensión tendrá una dimensión estrictamente menor que [math] n. [/matemáticas]

Answer 4

En el espacio N, un conjunto de n vectores es linealmente independiente si y solo si forman un volumen N-dimensional. Por ejemplo, en 3 espacios, tres vectores que se encuentran en el mismo plano o que son co-lineales no son independientes, sino que son dependientes.