Tengo una función [math] f: \ mathbf {R} ^ n \ to \ mathbf {R} ^ {m} [/ math] para m> n. ¿Cómo puedo definir una función [math] B: \ mathbf {R} ^ n \ to \ mathbf {R} ^ {n \ times m} [/ math] tal que [math] \ forall_ {X \ in \ mathbf { R} ^ n} [/ math] las columnas de B (X) forman una base para el n-hiperplano cuyo vector normal es paralelo a f (X)?

Answer 1

Como Vermont señaló en el comentario, probablemente quisiste decir hiperplano m-1 dimensional, en lugar de n-hiperplano.

Deje que [math] u_x = f (x) [/ math], [math] v_x = \ frac {u_x} {|| u_x ||} [/ math], y [math] e_1,… e_m [/ math] be la base estándar para [math] \ mathbb {R} ^ m [/ math].

Deje [math] E_x = \ {e_j – v_x: j = 1,… m \} [/ math], y [math] \ bar {E_x} = gramschmidt (E_x) [/ math], donde [math] gramschmidt [/ math] es el proceso de Gram-Schmidt, entonces

[math] B: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {(m-1) \ times m} [/ math]

definido como

[matemáticas] B (x) = \ bar {E_x} [/ matemáticas]

funcionaría para ti

Por construcción, cada vector en [math] \ bar {E_x} [/ math] es perpendicular a [math] f (x) [/ math].

Dejaré el hecho de que [math] dim (span (\ bar {E_x})) = m-1 [/ math] como ejercicio: p