Por lo general, no respondería a este tipo de preguntas porque tiendo a no tener nada que decir sobre ellas que otras personas hábiles no hayan dicho. Sin embargo, esta pregunta me permite repetir algo que invoco a menudo que se relaciona con las matemáticas aplicadas a la física que, a su vez, se basa en la necesidad de realizaciones físicas y lo que eso implica.
Si por “relaciones lineales entre vectores” quieres decir el resultado de un operador bilineal que actúa sobre un vector a su izquierda y uno a su derecha, entonces puedo continuar. Cuando se trabaja en algún sistema de coordenadas elegido, se espera que el vector de la izquierda esté representado por un vector de fila (transposición de su representación de vector de columna) y el de la derecha por un vector de columna. El operador está representado por una matriz. Si el espacio involucrado permite vectores con componentes “complejos” y no solo de valores reales, el vector izquierdo tendrá que ser el conjugado y la transposición del vector de columna subyacente.
Un cambio de base no debe, en situaciones físicas, cambiar la interpretación física dada para tales operaciones, ¡suponiendo que tal interpretación SE DA! Debe ser discutible si las matrices de similitud que se utilizan para realizar el cambio de base tienen un rango igual a las dimensiones del espacio porque la forma en que se construyen las matrices de similitud, con el fin de cambiar los vectores de base, el proceso involucra todo el original y final vectores básicos y en ese sentido está condenado a ser de rango completo de todos modos. Al menos esa es mi expectativa.
Las matemáticas tienen un alcance más amplio que el que generalmente se necesita para modelar situaciones físicas del mundo real. No tengo antecedentes para comentar sobre la posibilidad de que matemáticamente en algunas aplicaciones no físicas, lo que deduje se descomponga.
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Entonces, respondí esta pregunta desde el punto de vista de un físico y, como lo he hecho en varias respuestas anteriores, aprovecho esta oportunidad para señalar que cuando este tipo de operaciones están destinadas a modelar algunos eventos o procesos físicos del mundo real o calcular algunos observable que podría, en principio, medirse de alguna manera, cambiar la base de la representación de componentes de vectores y operadores no va a cambiar el resultado. Puede cambiar la representación del resultado en la nueva base de coordenadas, pero no el resultado físicamente medible o experimentado.
Dejo el resto a matemáticos calificados.