Cómo encontrar el mapeo lineal cuyo Kernel es generado por {(1,2,3,4), (0,1,1,1)}

Answer 1

Llame a la transformación [math] T. [/ math] Su dominio es [math] \ mathbf R ^ 4, [/ math] y su núcleo es la dimensión 2, por lo que su imagen es la dimensión 2, así que busquemos una transformación [math ] T: \ mathbf R ^ 4 \ to \ mathbf R ^ 2. [/ Math]

Tenga en cuenta que como [math] (1,2,3,4) [/ math] y [math] (0,1,1,1) [/ math] generan el núcleo, [math] (1,0,1, 2) [/ math] también está en el kernel. Es un vector más agradable que [math] (1,2,3,4) [/ math] así que usémoslo en su lugar.

Deje [math] T [/ math] ser representado por la matriz [math] A [/ math]

[matemáticas] A = \ begin {bmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \ end {bmatrix} [/ math]

Descubriremos algunos buenos valores para las entradas de esta matriz.

Como [math] T (1,0,1,2) = (0,0) [/ math] y [math] T (0,1,1,1) = (0,0) [/ math] necesitamos

[matemática] A = \ begin {bmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix} [/ math]

Podemos hacer eso si hacemos [math] a = -c-2d, e = -g-2h, b = -cd, [/ math] y [math] f = -gh. [/ Math]

Pero también queremos que la imagen sea todo [math] \ mathbf R ^ 2. [/ Math] Tenemos que elegir [math] c, d, g, [/ math] y [math] h [/ math] para hazlo así. La forma más fácil de hacerlo es dejar que [matemáticas] c = 1, d = 0, g = 0, [/ matemáticas] y [matemáticas] h = 1. [/ Matemáticas] Eso nos da esto como la matriz [matemáticas] A [/ matemáticas]

[matemáticas] A = \ begin {bmatrix} -1 y -1 y 1 y 0 \\ – 2 y -1 y 0 y 1 \ end {bmatrix} [/ math]

Answer 2

Hay muchos mapas lineales, por lo que pedir “el” mapa es un poco ingenuo.

Un buen enfoque podría ser

• primero encuentre un mapa lineal cuyo núcleo sea generado por los dos primeros vectores básicos estándar;
• expandir el conjunto dado para formar una base de [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math];
• luego use el método de cambio de base para encontrar una versión del mapa del primer paso que actúe de acuerdo con lo que encontró en el segundo paso.