Intentaré agregar una perspectiva diferente.
TLDR: No tenemos exactamente productos de puntos, pero podemos acercarnos a algo en espacios vectoriales normalizados.
Respuesta larga:
De wikipedia:
Un espacio vectorial sobre un campo F es un conjunto V junto con dos operaciones que satisfacen los ocho axiomas enumerados a continuación. Los elementos de V se denominan comúnmente vectores . Los elementos de F se denominan comúnmente escalares . La primera operación, llamada suma de vectores o simplemente suma , toma cualquiera de los dos vectores v y w y les asigna un tercer vector que comúnmente se escribe como v + w , y se llama la suma de estos dos vectores. La segunda operación, llamada multiplicación escalar, toma cualquier escalar ay cualquier vector v y le da a otro vector a v .
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Axioma Significado :
- Asociatividad de la suma u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
- La conmutatividad de la suma u + v = v + u
- Elemento de identidad de adición Existe un elemento 0 ∈ V , llamado vector cero , de modo que v + 0 = v para todos v ∈ V.
- Elementos de suma inversos Para cada v ∈ V, existe un elemento – v ∈ V , llamado inverso aditivo de v , de modo que v + (- v ) = 0 .
- Compatibilidad de la multiplicación escalar con la multiplicación de campo a ( b v ) = ( ab ) v
- Elemento de identidad de la multiplicación escalar 1 v = v , donde 1 denota la identidad multiplicativa en F.
- Distributividad de la multiplicación escalar con respecto a la suma vectorial a ( u + v ) = a u + a v
- Distributividad de la multiplicación escalar con respecto a la suma de campos ( a + b ) v = a v + b v
Entonces Matrix es un objeto de espacios vectoriales, digamos M (n, m) .
Ahora necesitamos entender cuál es la noción de producto interno / producto de punto.
En álgebra lineal, un espacio interno del producto es un espacio vectorial con una estructura adicional llamada producto interno . Esta estructura adicional asocia cada par de vectores en el espacio con una cantidad escalar conocida como el producto interno de los vectores.
Un producto interno induce naturalmente una norma asociada, por lo tanto, un espacio interno del producto también es un espacio vectorial normado. Un espacio completo con un producto interno se llama espacio de Hilbert.
Entonces, la matriz es un objeto del espacio vectorial, digamos M (n, m) (ver arriba) y podemos agregar una estructura adicional llamada norma (Norma (matemáticas)) que sigue una definición de norma. Ejemplo de esta norma sería la norma frobenius (norma Matrix) de (A – B).
De hecho, utilizando las propiedades anteriores, podemos definir espacios equivalentes para objetos de dimensiones infinitas con algunas condiciones de regularidad.
¡¡Espero que esto ayude!!
PD: No soy un experto, pero creo que este es el caso.
Fuente: Gran cantidad de definiciones tomadas de Wikipedia y Análisis funcional introductorio con aplicaciones de Krezig
Respuesta relacionada: ¿Por qué las personas definen espacios interiores de productos, espacios de Hilbert?