Para un conjunto [matemático] S [/ matemático] de vectores de un espacio vectorial [matemático] V [/ matemático] sobre un campo [matemático] F [/ matemático], el intervalo de [matemático] S [/ matemático], denotado [math] \ mbox {span} \ S [/ math] se define como el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de vectores en [math] S [/ math].
[matemática] \ mbox {span} \ S [/ matemática] [matemática] = \ left \ {\ sum \ limits_ {k = 1} ^ m \ alpha_k v_k \ mid m \ in \ mathbb N, \ v_k \ in S , \ \ alpha_k \ en F \ right \} [/ math]
Como resultado, el intervalo [matemáticas] S [/ matemáticas] es siempre un subespacio de [matemáticas] V [/ matemáticas]. De hecho, es el subespacio más pequeño de [math] V [/ math] que contiene los vectores en [math] S [/ math] (aquí, “más pequeño” tiene un significado matemático preciso; significa que cada subespacio de [ matemática] V [/ matemática] que contiene [matemática] S [/ matemática] también debe contener [matemática] \ mbox {span} \ S [/ matemática]). Otra forma de definir [math] \ mbox {span} \ S [/ math] es como la intersección de todo el subespacio de [math] V [/ math] que contiene [math] S [/ math].
Ejemplo : Considere el espacio [math] \ mathbb R ^ 3 [/ math], y deje que [math] S = \ {(1,0,0), (0,1,1) \} [/ math]. Entonces [math] \ mbox {span} \ S [/ math] es el subespacio de todos los vectores de la forma [math] a (1,0,0) + b (0,1,1) = (a, b, b) [/ matemáticas]. Este es el plano [matemáticas] y = z [/ matemáticas].
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Podemos definir algunos otros conceptos relacionados con el lapso de un conjunto. Decimos que, dado un subespacio [matemático] W [/ matemático] del espacio vectorial [matemático] V [/ matemático], un conjunto [matemático] S [/ matemático] abarca [matemático] W [/ matemático] si [matemático ] \ mbox {span} \ S = W. [/ math] Otra forma de decir esto es que [math] S [/ math] es un conjunto que abarca [math] W [/ math].
Ejemplo : considere nuevamente el subespacio definido por el plano [math] y = z [/ math] en [math] \ mathbb R ^ 3 [/ math]. Entonces [math] S = \ {(1,0,0), (0,1,1) \} [/ math] abarca este subespacio. Pero [matemática] S = \ {(3,1,1), (2,2,2), (5, -1, -1) \} [/ matemática] también es un conjunto de [matemática] W [ /matemáticas].
Se dice que un conjunto [math] S [/ math] es un conjunto de expansión , si abarca todo el espacio. Por ejemplo, [matemáticas] S = \ {(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (6,6,6) \} [/ matemáticas] es una extensión conjunto del espacio vectorial [math] \ mathbb R ^ 3 [/ math].
Un conjunto de expansión independiente se denomina base. Alternativamente, una base también se puede definir como un conjunto de expansión mínima o un conjunto independiente máximo: los espacios vectoriales tienen una estructura suficiente para que todos estos conceptos coincidan. El módulo más general, no.