Además: el determinante de dicha matriz, siempre un escalar, es 0. ¿Por qué es esto significativo? Bueno, básicamente, en cierto sentido, las matrices singulares son un “límite” entre matrices cuyos determinantes son positivos y aquellos cuyos determinantes son negativos. El signo del determinante tiene implicaciones en una variedad de campos; por ejemplo, geométricamente, la multiplicación por matrices (de valor real) con un determinante positivo conserva la orientación, mientras que la multiplicación por matrices (de valor real) con un determinante negativo invierte la orientación. (Ver, por ejemplo, Determinantes y transformaciones lineales.) El signo determinante (y la magnitud) relativo a la traza, también juega un papel en el comportamiento cualitativo de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales. (Véase, por ejemplo, Plano de fase – Wikipedia.) Las matrices singulares, cuyos determinantes no son ni positivos ni negativos, son por lo tanto bastante “especiales”. (Sin embargo, la “medida” relativa del “espacio” de las matrices singulares es cero, por lo que en “La vida real”, tales matrices ocurrirán con una probabilidad de fuga; dicho eso, las matrices cuyos determinantes están “cerca de” cero pueden ocurrir y ocurren en la práctica, y su comportamiento es “cercano” al de las matrices singulares, a veces bastante problemático, por ejemplo, en la solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales, por lo que su estudio todavía vale la pena.
¿Cuál es el significado de una matriz singular?
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Si los elementos de una matriz singular representaran, los coeficientes de las variables de un conjunto de ecuaciones. Entonces el conjunto de ecuaciones tendrá infinitas soluciones. [Suponiendo que el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas]
Por lo tanto, el concepto de matriz singular es muy útil para resolver ecuaciones lineales.
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