¿Es el conjunto de todos los pares ordenados de la forma [math] (x, 0) [/ math] con las operaciones estándar en [math] \ mathbb {R} ^ {2} [/ math] un espacio vectorial?

Answer 1

Entonces conoces los axiomas. Vamos a enumerarlos y verificarlo.
1. La conmutatividad: x + y = y + x
x + 0 = 0 + x = x, verificar
2. Asociatividad de la adición de vectores.
(x + 0) + z = x + (0 + z) = x + z, verifique
3. Identidad aditiva
0 + x = x + 0 = x, verifique
4. inverso aditivo
x + (- x) = 0, verificar
5.asociatividad de la multiplicación escalar
r (sX) = (rs) X, verificar
6.distributividad de sumas escalares
(r + s) X = rX + sX, verificar
7. Distributividad de sumas vectoriales
r (X + 0) = rX + rO = rX, verificar
8. Identidad de multiplicación escalar
1X = X, verificar

Entonces sí, es un espacio vectorial. rys anteriores son escalares / constantes. z no existe en su espacio, puede eliminarlo. Debería haber sido coherente con mi X mayúscula, pero soy demasiado vago para volver y cambiarlos … Espero que ayude.

Answer 2

Sí, es un espacio vectorial. Es un subespacio de [math] \ mathbf R ^ 2 [/ math] de dimensión 1. Cada línea recta a través del origen es tal.

Cuatro subespacios unidimensionales del plano

Del mismo modo, cada línea que pasa por el origen en [math] \ mathbf R ^ 3 [/ math] es un subespacio de dimensión 1 en [math] \ mathbf R ^ 3, [/ math] y cada plano que pasa por el origen en Un subespacio de dimensión 2.

El origen en sí es un subespacio de dimensión 0, y es el único subespacio de dimensión 0.

Answer 3

Es un espacio vectorial. Un espacio vectorial que se encuentra dentro de otro espacio vectorial se llama subespacio. El espacio [math] V: = \ {(x, 0): x \ in \ mathbb {R} \} [/ math] es, de hecho, solo una copia de [math] \ mathbb {R} [/ math] que está incrustado en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math]. Si piensa en [math] \ mathbb {R} [/ math] como una línea y [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] como el plano, entonces [math] V [/ math] es la x -eje