En la práctica, ¿cuáles son las diferencias entre el laplaciano y el laplaciano normalizado de un gráfico?

Answer 1

La matriz laplaciana de un gráfico [matemática] G [/ matemática], denotada por [matemática] L [/ matemática], es [matemática] DA [/ matemática], donde [matemática] D [/ matemática] es la matriz del vértice grados de [matemáticas] G [/ matemáticas] y [matemáticas] A [/ matemáticas] es la matriz de adyacencia de [matemáticas] G [/ matemáticas]. La matriz laplaciana normalizada [matemática] \ matemática {L} [/ matemática] de un gráfico [matemática] G [/ matemática] es [matemática] D ^ {- 1/2} LD ^ {- 1/2} [/ matemática ]

[math] L [/ math] se usa en el contexto de redes eléctricas (de hecho, generalmente se llama matriz de Kirchhoff cuando se usa en ese contexto) y en la teoría de control (la matriz de Laplacia se usa en la solución del problema de encuentro y otras aplicaciones similares como el flocado). [math] \ mathcal {L} [/ math] se usa generalmente en el análisis de caminatas aleatorias en gráficos.

Answer 2

Para complementar las respuestas que ya se dan a continuación (que son excelentes de hecho), solo agregaría que el espectro de un laplaciano normalizado de un gráfico se escala para estar en el intervalo [matemáticas] [0,2] \ in \ mathbb {R }. [/ math] Por lo tanto, si tiene una aplicación en la que dos gráficos se están “comparando” de alguna manera que involucra el espectro de la matriz laplaciana, es más ventajoso usar el laplaciano normalizado ya que sus valores propios se escalarán adecuadamente. Esto significa que puede hacer comparaciones significativas (manzanas con manzanas, por así decirlo) entre el espectro de un gráfico al otro.