¿Qué es un producto interno degenerado?

Answer 1

Un producto interno es un dispositivo que toma dos vectores y devuelve un número (real o complejo, dependiendo de si estamos hablando de un espacio vectorial sobre el campo real o complejo). El producto interno de los dos vectores [matemática] u, v [/ matemática] se denota [matemática] \ langle u, v \ rangle [/ matemática].

La definición de producto interno impone ciertos requisitos en este gadget. Uno de esos requisitos es que el único vector [matemático] v [/ matemático] que tiene “longitud 0”, que significa [matemático] \ langle v, v \ rangle = 0 [/ matemático], es el vector cero [matemático] v = 0 [/ matemáticas].

Hay una variación de “producto interno” que generalmente se llama “producto semi-interno” en el que se elimina este requisito. Es decir, estamos permitiendo que los vectores distintos de cero tengan una longitud 0. No estoy familiarizado con que se llame “producto interno degenerado”, pero según una analogía con formas bilineales, supongo que este es el significado deseado. Es un producto interno de cualquier otra manera, pero permite vectores de longitud 0.

Una de las formas en que esto es útil es cuando nuestro espacio vectorial consiste en funciones de algún tipo, y dejamos que el producto interno sea algo así como

[matemáticas] \ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int_I f \ bar {g} dx [/ math].

Ahora, una función de “0 longitud” o “0 masa” es aquella que satisface

[matemáticas] \ displaystyle \ int | f | ^ 2dx = 0 [/ matemáticas]

Esto a veces significa que [math] f [/ math] debe ser la función 0, pero a veces no lo es. Por ejemplo, si [math] f [/ math] es continuo entonces debe desaparecer, pero si solo sabemos que es sumable al cuadrado (lo que significa que la integral existe), entonces puede ser distinto de cero incluso si esta integral desaparece. En tales casos, a veces es conveniente relajar el requisito de un producto interno y permitir funciones de masa 0. (Existe un enfoque alternativo en el que reemplazamos las funciones con clases de equivalencia de funciones que son iguales “casi siempre”. Esto nos permite apegarnos a productos internos genuinos a expensas de que nuestros vectores sean entidades más complejas).

Answer 2

La palabra “degenerar” generalmente se aplica a una forma bilineal, no a un producto interno. Un producto interno es un tipo especial de forma bilineal y, por definición, un producto interno no puede degenerarse en este sentido.

Recordemos algunas definiciones. Si [math] V [/ math] es un espacio vectorial, entonces una forma bilineal en [math] V [/ math] es una función

[matemáticas] (\ cdot, \ cdot): V \ veces V \ to K [/ math]

donde [math] K [/ math] es el campo de tierra (más a menudo los números reales o complejos).

Este emparejamiento es lineal en cada factor:

[matemáticas] (v_1 + v_2, v_3) = (v_1, v_3) + (v_2, v_3) [/ matemáticas]
[matemáticas] (\ alpha v_1, v_2) = \ alpha (v_1, v_2) [/ math]

e igualmente en el segundo factor.

Tenga en cuenta que una forma bilineal es esencialmente lo mismo que un mapa lineal desde [matemática] V [/ matemática] al espacio vectorial dual [matemática] V ^ * [/ matemática] (que, por definición, son todos mapas lineales [matemática] ] V \ to K [/ matemáticas]). De hecho, dada una forma bilineal [matemática] (\ cdot, \ cdot) [/ matemática], puedo definir un mapa lineal

[matemáticas] f: V \ a V ^ * [/ matemáticas]
[matemáticas] (f (v)) (w) = (v, w) [/ matemáticas]

(Si no ha visto esto antes, es un buen ejercicio comprobar que el hecho de que esto tenga sentido son precisamente las condiciones de bilinealidad).

Por el contrario, dado un mapa lineal [matemático] f: V \ a V ^ * [/ matemático], puedo definir una forma bilineal por la regla

[matemáticas] (v, w) = (f (v)) (w) [/ matemáticas],

y, por supuesto, esta construcción es inversa a la anterior.

Definición. La forma bilineal [math] (\ cdot, \ cdot) [/ math] se degenera si el mapa correspondiente [math] f: V \ to V ^ * [/ math] no es un isomorfismo. No es degenerado si este mapa es un isomorfismo.

Es increíblemente importante que, en presencia de una forma bilineal no degenerada, exista un isomorfismo canónico entre un espacio vectorial (de dimensión finita) y su dual. Sin el producto interno hay un isomorfismo canónico entre dicho espacio y su doble dual, pero no hay forma de identificar el espacio y su dual sin elegir esencialmente una base del espacio.

Para un espacio vectorial dimensional finito, [matemática] V [/ matemática] y [matemática] V ^ * [/ matemática] tienen la misma dimensión y [matemática] f [/ matemática] es un isomorfismo si es inyectiva. Por lo tanto, [math] (\ cdot, \ cdot) [/ math] se degenera si y solo si hay un vector [math] v \ neq 0 [/ math] tal que [math] (v, w) = 0 [/ matemática] para todos [matemática] w \ en V [/ matemática].

Un producto interno [matemático] \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle [/ math] es un tipo especial de forma bilineal, con los requisitos adicionales de simetría (conjugada) y la definición positiva más importante : if [matemático] v \ en V [/ math] es cualquier vector distinto de cero, entonces [math] \ langle v, v \ rangle [/ math] es real y estrictamente positivo. De nuestra discusión anterior, vemos que un producto interno no puede ser degenerado en este sentido.

Hay otras “relajaciones” de los axiomas del producto interno que de alguna manera son “degeneraciones” de los productos internos, pero estas ideas tienen sus propios nombres técnicos que (hasta donde yo sé) no son solo “degenerados”, ya que este término ya es usado para la noción de forma bilineal. Alon Amit en esta página discute una de esas posibles relajaciones, donde se permiten algunos vectores de la norma 0, pero lo definitivo positivo es válido. Tal norma se llama pseudo-norma.

Otro ejemplo que aparece en la relatividad es el espacio de Minkowski. Este es un espacio de cuatro dimensiones [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math] con una forma bilineal de firma no degenerada (3, -1); el espacio tiene una base ortogonal dada por cuatro vectores

[matemáticas] e_x, e_y, e_z, e_t [/ matemáticas]

donde [matemáticas] \ | e_x \ | = \ | e_y \ | = \ | e_z \ | = 1 [/ matemática] y [matemática] \ | e_t \ | ^ 2 = -1 [/ matemática]. Aquí hay algunos vectores, llamados cono de luz , de la norma 0. Pero como también hay vectores de “norma” imaginaria, esta es una relajación más sustancial de la definición de producto interno que el ejemplo de pseudo-norma.

Crédito: Wikipedia

Aquí hay algunas referencias que dan varias generalizaciones / relajaciones posibles de normas y productos internos.
Cuasinorm
Norma (matemática) (ver seminorms, desafortunadamente pseudonorm redirige aquí pero no hay contenido)
Espacio pseudoeuclidiano (el espacio de Minkowski es un ejemplo)

Referencias para el material discutido aquí:
Espacio interior del producto
Forma bilineal
Forma degenerada
Espacio Minkowski