¿Cuál es la prueba matemática de por qué [matemáticas] x \ cdot y = \ | x \ | \ | y \ | \ cos \ theta [/ math] es cierto?

Answer 1

Usaré la notación [matemáticas] \ langle x, y \ rangle = \ | x \ | \ | y \ | \ cos (\ theta) [/ math] en su lugar.

Primero probaré [matemática] \ langle x, y \ rangle = 0 [/ matemática] cuando [matemática] x, y [/ matemática] son ​​ortogonales entre sí, es decir [matemática] 90 ^ o [/ matemática].

Sea [math] x = (x_1, x_2, x_3), y = (y_1, y_2, y_3) [/ math], del teorema de Pitágoras,

[matemáticas] \ | x \ | ^ 2 + \ | y \ | ^ 2 = \ | xy \ | ^ 2 [/ matemáticas], expanda ambos lados

[matemáticas] x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2 + y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2 + y_3 ^ 2 = [/ matemáticas]

[matemáticas] x_1 ^ 2-2x_1y_1 + y_1 ^ 2 + x_2 ^ 2-2x_2y_2 + y_2 ^ 2 + [/ matemáticas] [matemáticas] x_3 ^ 2-2x_3y_3 + y_3 ^ 2 [/ matemáticas]

cancelar términos equivalentes en ambos lados,

[matemáticas] x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 = 0 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ langle x, y \ rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 = 0 [/ matemáticas]

Hemos probado [math] \ langle x, y \ rangle = 0 [/ math], cuando [math] x, y [/ math] ortogonal.

Definir vectores unitarios [matemática] \ hat {x} = {x \ over \ | x \ |} [/ math], [math] \ hat {y} = {y \ over \ | y \ |} [/ math] ,

Descomponga [math] \ hat {x} [/ math] en un vector paralelo a [math] \ hat {y} [/ math], denotado [math] a \ hat {x} _ \ parallel [/ math], y un vector perpendicular a [math] \ hat {y} [/ math], denotado [math] b \ hat {x} _ \ perp [/ math], tenemos [math] \ hat {x} = a \ hat { x} _ \ parallel + b \ hat {x} _ \ perp [/ math], [math] a, b [/ math] son ​​coeficientes, nuevamente del teorema de Pitágoras [math] a ^ 2 + b ^ 2 = 1 [ /matemáticas]

[matemáticas] \ langle \ hat {x}, \ hat {y} \ rangle = \ langle a \ hat {x} _ \ parallel + b \ hat {x} _ \ perp, \ hat {y} \ rangle [/ matemáticas]

[math] = \ langle a \ hat {x} _ \ parallel, \ hat {y} \ rangle [/ math] (porque [math] \ langle b \ hat {x} _ \ perp, \ hat {y} \ rangle = 0 [/ math])

[matemática] = a [/ matemática] (porque [matemática] \ hat {x} _ \ parallel = \ hat {y} [/ matemática], y son vectores unitarios).

Tenga en cuenta que [math] a [/ math] es [math] \ cos (\ theta) [/ math], tenemos

[matemáticas] \ langle \ hat {x}, \ hat {y} \ rangle = \ cos (\ theta) [/ math]

[matemáticas] \ langle {x \ over \ | x \ |}, {y \ over \ | y \ |} \ rangle = \ cos (\ theta) [/ math]

[matemáticas] \ langle x, y \ rangle = \ | x \ | \ | y \ | \ cos (\ theta) [/ math]

Así que hemos probado la ecuación utilizando solo el teorema de Pitágoras y el álgebra básica.

Answer 2

Supongamos que x e y son vectores 2-D con componentes i y j (vectores unitarios a lo largo de los ejes x e y).
La propiedad de un producto escalar es la ortogonalidad: será cero entre los componentes perpendiculares (entre los componentes i y j).

xy es una proyección de x sobre y. Esta proyección debe estar en la misma dirección debido a la condición ortogonal.
Para proyectar x sobre y, simplemente multiplique x por cos (theta), ya que cos (theta) = (proj x) / x.
Como puede ver, el proyecto x es paralelo a y.

Answer 3

Tiene que ver con la proyección euclidiana de x sobre y.
Recuerde si x e y son dos puntos en un espacio y 0 u origen es el tercer punto. Entonces x, y, 0 forman un triángulo. [matemáticas] \ Theta [/ matemáticas] es el ángulo entre (0, x) y (0, y).

La proyección euclidiana de x sobre y es [matemática] y (xy) / || y || _2 ^ 2 [/ matemática]. La longitud de esta proyección es [matemática] (xy) / || y || _2 [/ matemática]. Recuerde que [matemáticas] \ cos (\ Theta) [/ matemáticas] = [matemáticas] \ mbox {longitud de la proyección} / || x || _2 = (xy) / (|| x || _2 || y || _2) [/ math] y el resultado sigue.

Answer 4

Para explicar lo que dijo Aram Rashduni:

Por la regla del coseno:

[matemáticas] || xy || ^ 2 = || x || ^ 2 + || y || ^ 2-2 || x || \, || y || \ cos \ theta [/ math]

Pero

[matemáticas] || xy || ^ 2 = (xy) \ cdot (xy) [/ matemáticas]
[matemáticas] || xy || ^ 2 = (x \ cdot x) -2 (x \ cdot y) + (y \ cdot y) [/ math]
[matemáticas] || xy || ^ 2 = || x || ^ 2 + || y || ^ 2-2 (x \ cdot y) [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] x \ cdot y = || x || \, || y || \ cos \ theta [/ math].