¡Ajá! ¡Tengo la oportunidad de sacar mi pieza geométrica favorita de todas las matemáticas nuevamente!
Olvídate de la definición formal de determinante, o como sea que se introduzca en tus libros. Bueno, no lo olvides para siempre, pero por un par de minutos.
Lo más importante que debe recordar acerca de los determinantes es esto: los determinantes son código para el volumen.
¿Qué diablos quiero decir con esto? Recuerde que una matriz cuadrada (digamos [math] A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n} [/ math]) es realmente un nombre para un mapa lineal [math] T_A [/ math] de [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] para sí mismo. [1] Los mapas lineales son agradables y se comportan bien: llevan líneas a líneas, planos a planos, etc. De hecho, toman líneas paralelas a líneas paralelas, planos paralelos a planos paralelos, etc.
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En particular, si alimentamos la unidad hipercubo [matemática] [0,1] ^ n [/ matemática] en nuestro mapa lineal [matemática] T_A [/ matemática], obtenemos algún tipo de sólido paralelogramo (llamado parralelpiped , Por si te lo preguntabas). ¡Y ese sólido tiene un volumen, y ese volumen es el determinante de la matriz! (Excepto posiblemente por un factor de [math] \ pm 1 [/ math], que determina si el mapa conserva la orientación o no).
Entonces, ahora preguntas, ¿qué tiene eso que ver con la multiplicación? Y mi respuesta es que la multiplicación matricial es la composición de funciones. Y así, si alimentamos el cubo de la unidad en [matemáticas] T_A [/ matemáticas], y luego alimentamos el resultado en [matemáticas] T_B [/ matemáticas], el volumen de [matemáticas] T_B \ circ T_A (\ text {cubo}) [/ math] es solo el factor de escala de [math] T_B [/ math] aplicado al volumen de [math] T_A (\ text {cube}) [/ math].
[1] (O posiblemente [math] \ mathbb {C} ^ n [/ math], o algún otro campo).