¿Qué representan físicamente los elementos no diagonales en el formalismo de la matriz de densidad?

Answer 1

No debe preocuparse tanto por elementos individuales en el formalismo. En un sistema spin [math] 1/2 [/ math], donde el espacio hilbert es [math] \ mathbb {C} ^ 2 [/ math], debe elegir de manera arbitraria dos vectores [math] k_1, k_2 [/ math] de tal manera que sirven como base para describir todo en la teoría. Estos dos vectores, observo, son arbitrarios, y cada elección conduciría a las mismas respuestas. Normalmente los dejaremos ser la base propia del operador de giro [math] S_z [/ math]. Dada una base [math] k_1, k_2 [/ math] los elementos de la matriz de la matriz de densidad están dados por

[matemáticas]
\ rho = \ begin {pmatrix}
\ langle k_1, \ rho \, k_1 \ rangle & \ langle k_1, \ rho \, k_2 \ rangle \\
\ langle k_2, \ rho \, k_1 \ rangle & \ langle k_2, \ rho \, k_2 \ rangle \\
\ end {pmatrix}
[/matemáticas]

Pero siempre puede elegir la base (los vectores de referencia) de modo que la matriz de densidad sea diagonal

[matemáticas]
\ rho = \ begin {pmatrix}
\ lambda_1 y 0 \\
0 & \ lambda_2 \\
\ end {pmatrix}
[/matemáticas]

Donde [math] \ lambda_1 + \ lambda_2 = 1 [/ math]. Si [math] \ lambda_2 = 0 [/ math], usted dice que su estado es puro y que está bien descrito por el vector [math] k_1 [/ math]. Si ambos son distintos de cero, entonces tiene una mezcla entre los estados puros [matemática] k_1, k_2 [/ matemática]. En una base diferente, la interpretación es la misma (una vez que marcó si es una mezcla o un estado puro), si es puro, los elementos fuera de la diagonal en esa base solo representan cómo son los componentes de su vector [math] k_n [/ math ] (que representan [matemáticas] \ rho [/ matemáticas]) están relacionadas con su base (pero sigue siendo un vector legítimo), y en el caso mixto,

[matemáticas]
\ rho = \ lambda_1 \ rho_1 + \ lambda_2 \ rho_2
[/matemáticas]

con [math] \ rho_1, \ rho_2 [/ math] pure, y los elementos diagonales apagados dicen exactamente la misma información sobre [math] \ rho_1 [/ math] y [math] \ rho_2 [/ math] que en el caso puro . Uno de ellos, puede argumentar, que la aparición de esos términos es solo una consecuencia del principio de superposición, y representa cómo interfieren dos vectores diferentes.

Answer 2

Gracias por A2A. Sin embargo, no soy físico y solo tengo una noción muy aproximada de lo que se trata. Por lo tanto, primero una advertencia: no debes esperar una buena respuesta de mi parte.
De hecho, sé mucho menos de física que los estudiantes de secundaria avanzados como Paul Olaru, por ejemplo.

Además, voy a ignorar esta elegante notación de Bra-ket, los físicos pueden considerarla sexy, pero me parece un desperdicio.

Creo que primero deberíamos considerar dos ejemplos, de un sistema de estado puro (una superposición lineal de dos estados) con matriz de densidad

[matemáticas] \ rho_1 = \ begin {pmatrix} \ frac {1} {2} & \ frac {1} {2} \\ \ frac {1} {2} & \ frac {1} {2} \ end { pmatrix} [/ math]

y de un sistema de estado mixto que tiene dos estados básicos con probabilidades [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática] dada por:

[matemáticas] \ rho_2 = \ begin {pmatrix} \ frac {1} {2} & 0 \\ 0 & \ frac {1} {2} \ end {pmatrix}. [/matemáticas]

Ahora considere una [matemática] observable A = \ begin {pmatrix} 1 & c \\ c & -1 \ end {pmatrix}. [/matemáticas]

El valor esperado en el primer caso es [matemática] \ langle {\ rho_1} \ rangle = \ mathrm {Tr} (\ rho_1 A) = \ frac {c} {2} + \ frac {c} {2} – \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} = c [/ math] y el valor esperado [math] \ langle \ rho_2 \ rangle = \ mathrm {Tr} (\ rho_2 A) = 0. [/ matemáticas]

Los valores propios de [matemática] A [/ matemática] son ​​[matemática] \ pm \ sqrt {1 + c ^ 2} [/ matemática].

Mientras que [math] \ langle {\ rho_2} \ rangle = 0 [/ math], las entradas fuera de la diagonal influyen drásticamente en [math] \ langle \ rho_1 \ rangle [/ math] de modo que el valor esperado [math] c [/ math ] está cerca de [math] \ sqrt {1 + c ^ 2} [/ math] if [math] c >> 0 [/ math] (respectivamente a [math] – \ sqrt {1 + c ^ 2} [/ matemática] si [matemática] c << 0 [/ matemática]).

Supongo que puedes pensar más o menos en entradas no diagonales como aquellas que están relacionadas con la coherencia entre estados cuánticos. En [math] \ rho_1 [/ math] las entradas diagonales se eligen de la manera que la coherencia entre los estados cuánticos es máxima posible (ya que el estado es una superposición lineal de dos estados estándar) mientras que en [math] \ rho_2 [/ math] existe no hay coherencia entre los mismos estados cuánticos (son mutuamente excluyentes). Como has visto antes, puede tener un enorme impacto en las medidas esperadas para ciertos observables.