Deje que [math] \ mathrm {M} _n (\ mathbb {R}) [/ math] sea un [math] \ mathbb {R} [/ math] -espacio lineal de matrices cuadradas reales de orden [math] n. [ /matemáticas]
Utilizamos los siguientes hechos estándar:
(1) Para las [matemáticas] H arbitrarias, K \ in \ mathrm {M} _n (\ mathbb {R}) [/ math] contiene [math] \ mathrm {tr} (HK) = \ mathrm {tr} (KH ).[/matemáticas]
(2) [matemáticas] \ langle H, K \ rangle = \ mathrm {tr} (H ^ {t} K) \ overset {(1)} {=} \ mathrm {tr} (KH ^ {t}) [ / math] es un producto escalar en [math] \ mathrm {M} _n (\ mathbb {R}). [/ math]
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Dado que [math] A [/ math] y [math] B [/ math] son simétricas, tenemos [math] ABAB = AB (BA) ^ {t} [/ math] y, por lo tanto, [math] \ mathrm {tr} (AB AB) = \ mathrm {tr} (AB (BA) ^ {t}). [/ Math]
Usando la desigualdad de Cauchy-Schwartz para [math] \ langle ~ \ rangle [/ math] obtenemos:
[math] \ mathrm {tr} (AB (BA) ^ {t}) \ leq [/ math] [math] \ sqrt {\ mathrm {tr} (AB) (AB) ^ {t}} \ sqrt {\ mathrm {tr} (BA) (BA) ^ {t}}. [/ math]
Pero [math] \ mathrm {tr} (AB) (AB) ^ {t} = \ mathrm {tr} ABBA \ overset {(1)} {\; = \;} \ mathrm {tr} AABB. [/ Math ]
Igualmente:
[math] \ mathrm {tr} (BA) (BA) ^ {t} = \ mathrm {tr} BAAB \ overset {(1)} {\; = \;} \ mathrm {tr} AABB. [/ math]
Esto prueba la declaración requerida.