¿Alguien puede ayudarme a entender el concepto de subespacios dado este ejemplo?

Answer 1

La pregunta, como la citó aquí, hace referencia a [math] P_3 [/ math] sin especificar qué es. Lo más probable es que sea el espacio vectorial de polinomios de grado como máximo 3 en algún campo, pero no puedo adivinar qué es este campo. Debe haber aparecido en clase, en el libro o en una pregunta anterior.

Honestamente, no importa mucho: el campo podría ser los racionales, los reales o los números complejos, la respuesta es la misma y es lo que estás pensando. Pero para su pregunta específica sobre de dónde provienen los escalares, esta es la respuesta: el campo de escalares es parte de la definición de un espacio vectorial. No hay un “espacio vectorial de polinomios de grado 3”, hay uno de esos espacios sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math], y uno sobre [math] \ mathbb {R} [/ math] y sobre [math ] \ mathbb {C} [/ math] y así sucesivamente.

La segunda cosa que debe tener en cuenta es la redacción de una prueba y la forma en que introduce las variables. Si desea afirmar (como debería) que su conjunto no es un subespacio porque no está cerrado bajo la multiplicación escalar, debe exhibir al menos un elemento específico del conjunto y un escalar para que su producto no esté en el conjunto . No puede simplemente decir cosas como “[math] k \ vec {u} [/ math]” sin decir qué es [math] k [/ math] y qué es [math] \ vec {u} [/ math]. Nunca, nunca arrojes una variable en una oración sin cuantificarla.

Answer 2

Supongo que [math] P_3 [/ math] es el conjunto de polinomios de grado 3 o menos, con coeficientes reales y definidos con las reglas tradicionales de suma y producto externo.

Su pregunta (“qué tipo de escalares podemos traer …”) es en realidad una parte central de la definición de un espacio vectorial. Sospecho que su maestro lo eliminó del texto del curso en un intento de hacer que las matemáticas de los espacios vectoriales sean más accesibles. Esto es realmente una cosa razonable que hacer.

Probablemente haya visto alguna versión de la definición de un espacio vectorial. Tiene un conjunto V , que tiene un operador de suma + y un operador de multiplicación x, y todos tienen un montón de propiedades ordenadas.
En verdad, también debería tener un segundo conjunto F en esta definición. Este conjunto se denomina campo del espacio vectorial. Está implícitamente presente en la definición del producto escalar: el producto escalar es un operador x que toma como argumentos un elemento de V (el vector) y un elemento de F (el escalar).
En general, un campo es una estructura algebraica. Es decir, como un espacio vectorial, es un conjunto F con operadores + yx (pero aquí la multiplicación x es interna , es decir , ambos argumentos son elementos de campo). También tiene un montón de propiedades ordenadas. En principio, podría definir un espacio vectorial sobre cualquier campo, pero en la práctica son casi siempre los números reales o complejos. Es por eso que su libro probablemente no menciona mucho los campos: son estructuras muy complicadas (los campos son posiblemente más abstractos y difíciles de trabajar que los espacios vectoriales), y presentarlos no es realmente necesario para nadie, excepto matemáticos puros porque Casi todos los espacios vectoriales se definen sobre los números reales o complejos de todos modos.

Eso nos lleva a la respuesta a su pregunta. Excepto cuando se indique lo contrario, puede suponer que los coeficientes / escalares de cualquier espacio vectorial que encuentre son números reales. Entonces, sí, su razonamiento es correcto: multiplicar un “vector” (entre comillas porque, como ha demostrado, el conjunto descrito no es un espacio vectorial en absoluto) de ese conjunto con un número no entero, en el Caso general, producir otro “vector”.