Cómo probar este teorema de álgebra matricial

Answer 1

Esto requerirá el uso de una identidad de matriz bien conocida det (Exp (B)) = Exp (Trace (B)) cuya prueba, por ejemplo, se puede encontrar aquí. En esta identidad, si reemplazamos Exp (B) con A y, por lo tanto, B con Log (A), y cambiamos el Exp en RHS a un Log en el LHS, obtenemos Log det (A) = Trace (Log (A)) . Entonces tenemos

[matemáticas] \ frac {\ partial} {\ partial x} Log (det (A)) = \ frac {\ partial} {\ partial x} Trace (Log (A)) [/ math]

Al escribir [math] A [/ math] como [math] I + C [/ math] podemos expandir el Log en el RHS de la ecuación anterior como

[matemáticas] Log (I + C) = C- \ frac {C ^ 2} {2} + \ frac {C ^ 3} {3} – \ frac {C ^ 4} {4} + \ dots [/ math ]

Tomando su rastro obtenemos

[matemática] Traza (Log (I + C)) [/ matemática]
[matemáticas] = C_ {ii} -C_ {ij} C_ {ji} \ frac {1} {2} + C_ {ij} C_ {jk} C_ {ki} \ frac {1} {3} – \ puntos [ /matemáticas]

donde los índices repetidos se suman sobre [matemática] 1, \ puntos, N [/ matemática] ([matemática] C [/ matemática] es [matemática] N \ veces N [/ matemática] matriz). Es fácil comprobar que la derivada de la ecuación anterior da

[math] \ frac {\ partial} {\ partial x} Trace (Log (I + C)) [/ math]
[math] = (\ delta_ {ij} -C_ {ij} + C_ {ik} C_ {kj} – \ dots) \ frac {\ partial} {\ partial x} C_ {ji} [/ math]

que también se puede escribir como

[math] \ frac {\ partial} {\ partial x} Trace (Log (I + C)) [/ math]
[math] = Trace ((I + C) ^ {- 1} \ frac {\ partial} {\ partial x} (I + C)) [/ math]

O como

[math] \ frac {\ partial} {\ partial x} Trace (Log (A)) = Trace (A ^ {-1} \ frac {\ partial} {\ partial x} A) [/ math].

Combinándolo con el resultado inicial obtenemos la identidad requerida

[math] \ frac {\ partial} {\ partial x} Log (det (A)) = Trace (A ^ {-1} \ frac {\ partial} {\ partial x} A) [/ math].

Answer 2

Esto se llama la fórmula de Jacobi . Aunque está escrito en la notación de matrices usando determinantes, trazas e inversas de matrices, en realidad es solo una declaración sobre derivadas.

Lo mostraremos cuando la matriz [math] A [/ math] sea una matriz [math] 2 \ times2 [/ math]. El caso general se puede mostrar de la misma manera, pero las ecuaciones detalladas en la demostración son mucho más simples en el caso [math] 2 \ times2 [/ math]

Comenzamos con la matriz

[matemáticas] A = \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} [/ math]

Aquí las entradas [math] a, b, c, d [/ math] son ​​todas funciones de [math] x. [/ Math] Puede haber otras variables involucradas, pero dado que estamos interesados ​​solo en las derivadas con respecto a [matemática] x, [/ matemática] usemos la notación prima para derivadas. La derivada de la matriz [matemática] A [/ matemática] es

[matemáticas] A ‘= \ begin {bmatrix} a’ & b ‘\\ c’ & d ‘\ end {bmatrix} [/ math]

Usaré log para denotar el logaritmo natural. En esa notación, la fórmula de Jacobi parece

[matemáticas] (\ log (\ det A)) ‘= \ mbox {tr} (A ^ {- 1} A’) [/ matemáticas]

donde det denota el determinante y tr denota la traza. Ya que

[matemáticas] (\ log (\ det A)) ‘= \ frac {(\ det A)’} {\ det A} [/ matemáticas]

podemos reescribir la fórmula de Jacobi en la forma

[matemáticas] (\ det A) ‘= (\ det A) \; \ mbox {tr} (A ^ {- 1} A’) [/ matemáticas]

que también se llama la fórmula de Jacobi. Evaluemos ambos lados de esa ecuación y veamos que son iguales.

Lado izquierdo

El determinante de [math] A [/ math] es [math] ad-bc. [/ Math] Su derivada es

[matemáticas] (\ det A) ‘= a’d + ad’-b’c-bc’ [/ matemáticas]

Lado derecho

Hay un poco más que podemos hacer en el lado derecho antes de evaluarlo. Trace es un operador lineal, [math] c \; \ mbox {tr} A = \ mbox {tr} (cA) [/ math] para que podamos reescribir el lado derecho como

[matemáticas] \ mbox {tr} ((\ det A) A ^ {- 1} A ‘) [/ matemáticas]

Primero mire el producto [math] (\ det A) A ^ {- 1}. [/ Math] Eso se llama el adyuvante de la matriz [math] A. [/ Math] Para nuestro [math] 2 \ times2 [/ matemáticas] matriz [matemáticas] A [/ matemáticas] eso es solo

[matemáticas] \ mbox {adj} A = \ begin {bmatrix} d & -b \\ – c & a \ end {bmatrix} [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] (\ mbox {adj} A) A ‘= \ begin {bmatrix} d & -b \\ – c & a \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} a’ & b ‘\\ c’ & d ‘\ end {bmatrix }[/matemáticas]

[math] = \ begin {bmatrix} a’d-bc ‘& b’d-bd’ \\ a’c + ac ‘& b’c + ad’ \ end {bmatrix} [/ math]

Ahora tome el rastro de eso para terminar de evaluar el lado derecho. La traza es solo la suma de los elementos diagonales de la matriz.

[matemáticas] \ mbox {tr} ((\ mbox {adj} A) A ‘) = a’d-bc’ + b’c + ad ‘[/ math]

Y ese es el mismo valor que el lado izquierdo. Eso termina la prueba.

El caso dimensional superior

Para probar el caso general, generalmente se utilizan las propiedades de la matriz de adyuvantes. Puedes encontrarlo hecho en

• Fórmula de Jacobi
• William Kahan toma nota de la fórmula de Jacobi
• La fórmula de Jacobi para la derivada de un determinante revisitado en Ngô Quốc Anh