¿Es cierto que si tiene un límite en el número de condición de una matriz M, significa que M es invertible? ¿Por qué es eso cierto?

Answer 1

Una forma útil de pensar en esto es interpretar el número de condición y los valores singulares geométricamente. Echa un vistazo a esta imagen:
La trama azul es un conjunto de vectores en el círculo unitario. Cada una de las gráficas rojas muestra el resultado de aplicar una matriz a estos vectores en el círculo unitario con el título “Cond = Number” que muestra el número de condición. Las matrices asociadas con estos son:
(arriba a la derecha): [matemáticas] A_1 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0.5 & 0.9 \ end {bmatrix} [/ math]

(abajo a la izquierda): [matemáticas] A_2 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0.5 & 0.12 \ end {bmatrix} [/ math]

(abajo a la derecha): [matemáticas] A_3 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0.5 & 0 \ end {bmatrix} [/ math]

Para esta situación 2-D, los valores singulares te dicen dos cosas:

1) El valor singular más grande le indica cuál es la distancia en el círculo unitario transformado en la dirección del estiramiento máximo (es decir, la mitad de la longitud del eje mayor de la elipse).

2) El valor singular más pequeño le indica cuál es la distancia en el círculo unitario transformado en la dirección del estiramiento mínimo (es decir, la mitad de la longitud del eje menor de la elipse).

El número de condición es la relación entre el valor singular más grande y el valor singular más pequeño, por lo que le indica cuán distorsionada se vuelve el círculo unitario por la transformación. Por eso es útil en el análisis numérico: es igualmente probable que ocurran pequeños errores aleatorios en cualquier dirección. Las distorsiones significan que los pequeños errores se amplifican en algunas direcciones (es decir, en un ángulo cerca del eje menor) en relación con lo que están en otros (es decir, en un ángulo cerca del eje mayor).

De todos modos, lo que esto significa con respecto a la singularidad: siempre que el valor singular más pequeño sea distinto de cero, el círculo unitario 2D se asigna a un área 2D. Una vez que el valor singular más pequeño es cero, como en la gráfica inferior izquierda, el área 2D cubierta por el círculo de la unidad se mapea en un “área” 1D. Dado que hay dos dimensiones y esta es una gráfica lineal, eso debe significar que está mapeando múltiples vectores desde el círculo unitario en un solo vector en esta línea. Eso significa que ya no tienes inyectividad / surjectividad. Como no puede identificar un solo vector único en el círculo unitario para asociarlo con un solo vector en la línea, el mapa debe ser singular.

Este es un ejemplo 2-D, pero el mismo razonamiento geométrico se aplica en cualquier cantidad de dimensiones finitas.

Answer 2

Gracias por A2A.

Los valores singulares de [matemática] M [/ matemática] son ​​raíces (positivas) de valores propios de [matemática] A = M ^ {t} M [/ matemática].

[matemática] A [/ matemática] es positivamente semi-definida (es decir, sus valores propios son reales y no negativos). Además, se puede demostrar que [math] \ mathrm {rank} ~ M = \ mathrm {rank} ~ A [/ math].

Es decir, la condición [math] \ sigma_ {min} (M) = 0 [/ math] es equivalente a la singularidad de [math] M [/ math], en este caso [math] \ kappa (M) [/ math ] no está definido (división por 0).

Si [math] M [/ math] no es singular, el número de condición le indica cómo el sistema lineal de solución [math] Mx = b [/ math] es sensible a pequeñas perturbaciones de [math] b [/ math]. No se trata de un límite en el número de condición (no existe), sino del límite en el cambio de [math] x [/ math] con perturbación wrt de [math] b [/ math]. Este límite depende del número de condición.

Answer 3

Como los valores singulares de las matrices son las raíces cuadradas de los valores propios de [math] M ^ TM [/ math], siempre son no negativos. [math] M [/ math] es invertible si y solo si ninguno de los valores propios de [math] M [/ math] es cero. Tenga en cuenta que [math] M ^ TM [/ math] es invertible si y solo si [math] M [/ math] es (de hecho, comparten el mismo rango). Por lo tanto, si [math] \ sigma_ {min} (M) = 0 [/ math], el número de condición no está definido, mientras que si [math] \ sigma_ {min} (M)> 0 [/ math], el número de condición es definido, y por lo tanto acotado.