¿Qué dice intuitivamente el teorema del disco de Gershgorin?

Answer 1

Del artículo vinculado a Deepti, encontré una sección útil que me gustó:

Una forma de interpretar este teorema es que si las entradas fuera de la diagonal de una matriz cuadrada sobre los números complejos tienen normas pequeñas, los valores propios de la matriz no pueden estar “lejos de” las entradas diagonales de la matriz. Por lo tanto, al reducir las normas de las entradas fuera de la diagonal, se puede intentar aproximar los valores propios de la matriz. Por supuesto, las entradas diagonales pueden cambiar en el proceso de minimizar las entradas no diagonales.

Teorema del círculo de Gershgorin

(en mi opinión) una ecuación clave de la prueba del teorema es:

[matemáticas] \ sum_ {j \ neq i} M_ {ij} x_j = \ lambda x_i – M_ {ii} x_i [/ ​​matemáticas]

que conduce a (por la desigualdad del triángulo, dividiendo entre [matemáticas] x_i [/ ​​matemáticas] y delimitando [matemáticas] \ frac {x_j} {x_i} [/ matemáticas]):

[matemáticas] | \ lambda – M_ {ii} | \ leq \ sum_ {j \ neq i} | M_ {ij} | [/matemáticas]

Teniendo en cuenta esas ecuaciones, ese párrafo se vuelve más útil.

Answer 2

El teorema del disco de Gershgorin (GDT) dice que cada valor propio de una matriz cuadrada está dentro de un disco centrado en uno de los elementos diagonales y con un radio que depende de los elementos no diagonales en la misma fila.

Intuitivamente, esto tiene sentido para mí cuando considero los siguientes casos:
+ Una matriz diagonal: como sabemos, los valores propios son exactamente los elementos diagonales. Están en discos de radio 0, centrados en los elementos diagonales. Hasta aquí todo bien.
+ Una matriz con elementos no diagonales arbitrariamente pequeños: los valores propios deben estar realmente cerca de los elementos diagonales, por la continuidad de la ecuación característica con los elementos de la matriz. Eso es consistente con GDT.
+ Una matriz con elementos no diagonales de cualquier tamaño: los valores propios podrían estar más lejos, dependiendo de “cuán no diagonal” sea la matriz, es decir, los valores absolutos de los elementos no diagonales. Eso es consistente con GDT también.

Además, la prueba en esta página lo hizo más claro: http://en.m.wikipedia.org/wiki/G …

Answer 3

El teorema permite localizar valores propios de matrices y esto es útil para el análisis numérico y otras cuestiones. Si wikipedia no es suficiente para ti, tienes un libro completo: Geršgorin y sus círculos.