La regla completa para calcular el determinante de una matriz cuadrada [matemática] n \ veces n [/ matemática] usa más que solo las diagonales: usa todas las permutaciones posibles de los índices.
Esto es más fácil de decir si usamos la notación estándar [math] a_ {ij} [/ math].
[matemáticas] n = 2 [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ det \ begin {pmatrix} a_ {11} y a_ {12} \\ a_ {21} y a_ {22} \ end {pmatrix} [/ math]
[matemáticas] = a_ {11} a_ {22} [/ matemáticas]
[matemáticas] + (-1) a_ {12} a_ {21} [/ matemáticas]
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[matemáticas] n = 3 [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ det \ begin {pmatrix} a_ {11} y a_ {12} y a_ {13} \\ a_ {21} y a_ {22} y a_ {23} \\ a_ {31} y a_ {32 } & a_ {33} \ end {pmatrix} [/ math]
[matemáticas] = a_ {11} a_ {22} a_ {33} [/ matemáticas]
[matemáticas] + (-1) a_ {11} a_ {23} a_ {32} [/ matemáticas]
[matemáticas] + a_ {12} a_ {23} a_ {31} [/ matemáticas]
[matemáticas] + (-1) a_ {12} a_ {21} a_ {33} [/ matemáticas]
[matemáticas] + a_ {13} a_ {21} a_ {32} [/ matemáticas]
[matemáticas] + (-1) a_ {13} a_ {22} a_ {31} [/ matemáticas]
Ahora, ¿cómo ha mejorado esto nuestras vidas? Bueno, el término principal en cada línea tiene la forma [math] \ prod_ {1 \ leq i \ leq n} a_ {i \ pi (i)} [/ math] para alguna permutación [math] \ pi \ in \ mathcal {S} _n [/ matemáticas]. O casi. Hemos descuidado el hecho de que algunos de estos tienen un factor de -1. Y mirando exactamente cuáles tienen un factor de -1, vemos que son aquellos en los que la permutación mueve exactamente dos objetos (a diferencia de ninguno o los tres). Pensando en esto un poco más en general, vemos que si la permutación es par ([math] \ text {sgn} (\ pi) = 0 [/ math]), entonces el término tiene un signo positivo, y si la permutación es impar ([matemática] \ text {sgn} (\ pi) = 1 [/ matemática]), entonces el término tiene signo negativo.
Entonces, para calcular un determinante [matemático] 4 \ veces 4 [/ matemático], necesitaríamos sumar 24 términos, de la siguiente manera:
[matemáticas] det \ begin {pmatrix} a_ {ij} \ end {pmatrix} _ {1 \ leq i, j \ leq 4} [/ math]
[math] = \ sum _ {\ pi \ in \ mathcal {S} _4} (-1) ^ {\ text {sgn} (\ pi)} \ prod_ {1 \ leq i \ leq n} a_ {i \ pi (i)} [/ matemáticas].
Ahora, afortunadamente, existen métodos más fáciles para calcular los determinantes (en particular, su libro probablemente enseña el algoritmo de Lewis Carroll. Sí, ese Lewis Carroll), pero a partir de esta fórmula, podemos ver por qué el solo uso de diagonales no funcionará. Las diagonales corresponden a permutaciones muy especiales: son los “ciclos”, y aunque puede pensar en cada permutación en [math] \ mathcal {S} _2 [/ math] y [math] \ mathcal {S} _3 [/ math] como un ciclo, una vez que entramos en [math] \ mathcal {S} _4 [/ math] y más arriba tenemos permutaciones más complicadas en nuestras manos.