¿Qué condiciones necesita una matriz para ser diagonalizable?

Answer 1

Puede encontrar las condiciones para la diagonalización en cualquier lugar, pero no parece que eso lo ayude.

Así es como lo pienso:
Forma normal de Jordania
Cada matriz se puede poner de esa forma, las diagonales son las que tienen cada bloque de Jordan solo una entrada en lugar de una matriz cuadrada de dimensión mayor que 1. Eso sucede cuando la “multiplicidad geométrica” ​​y la “multiplicidad algebraica” coinciden, también conocido como en realidad hay vectores propios linealmente independientes para cada valor propio. Puedes jugar con matrices con 1s sobre la diagonal para ver cómo funciona.

En cuanto a los diferentes sentidos para diagonalizar una matriz, se podría decir que SVD es uno. Creo que una gran parte de la diagonalización es que la forma es agradable de manipular. Por ejemplo, puede tomar fácilmente poderes y hacer polinomios de una matriz diagonalizable ya que:
[matemática] A = S ^ {- 1} DS [/ matemática] implica [matemática] A ^ n = (S ^ {- 1} DS) ^ n = S ^ {- 1} D ^ n S [/ matemática]

Answer 2

Algunas de las condiciones para que la matriz sea diagonalizable se dan a continuación:

[matemática] 1) [/ matemática] Una matriz [matemática] n \ veces n [/ matemática] es diagonalizable si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes

[matemática] 2) [/ matemática] Una matriz es diagonalizable si y solo si su polinomio mínimo tiene factores no repetidos en el campo especificado. Por ejemplo, cualquier matriz idempotente es diagonalizable . Si [math] A [/ math] es idempotente, entonces sabemos que [math] A ^ 2 = A [/ math]. Esto implica que [matemáticas] A (AI) = 0. [/ Matemáticas]

Esto significa que el polinomio [matemático] x [/ matemático] [matemático] (x − 1) [/ matemático] es un polinomio aniquilador para [matemático] A [/ matemático]. Se deduce que el polinomio mínimo debe dividir [matemática] x [/ matemática] ([matemática] x-1 [/ matemática]) y, por lo tanto, debe dividirse. Por lo tanto, [math] A [/ math] debe ser diagonalizable.

[math] 3) [/ math] Cualquier matriz [math] n \ times n [/ math] con [math] n [/ math] valores propios distintos es diagonalizable. Entonces puede decir que cada matriz triangular superior con elementos distintos en la diagonal es diagonalizable .

[matemáticas] 4) [/ matemáticas] Las matrices simétricas son ortogonalmente diagonalizables.

Answer 3

Una matriz (compleja) es diagonalizable exactamente cuando su polinomio mínimo no tiene raíces repetidas. El polinomio mínimo de una matriz [matemática] A [/ matemática] es el polinomio monic [matemático] p [/ matemático] de grado más pequeño que satisface [matemático] p (A) = 0. [/ Matemático]

Answer 4

Una matriz [matemática] n \ veces n [/ matemática] es diagonalizable si y solo si tiene vectores característicos linealmente independientes [matemática] n [/ matemática].

Es por este hecho que la diagonalización se puede realizar para matrices diagonalizables.