Supongamos que tengo un conjunto de puntos, digamos [matemáticas] (1,2), (5,3), (-2,0), (7, -1) [/ matemáticas]. Busquemos un polinomio [matemático] p (x) [/ matemático] que pase por estos puntos. Entonces tenemos
[matemáticas] p (1) = 2, p (5) = 3, p (-2) = 0, p (7) = – 1 [/ matemáticas].
Podemos usar un polinomio cúbico [matemático] p (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d [/ matemático], de modo que tenemos cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas. Por lo tanto
[matemática] p (1) = 2 [/ matemática] significa [matemática] a (1) ^ 3 + b (1) ^ 2 + c (1) + d = 2 [/ matemática]
[matemática] p (5) = 3 [/ matemática] significa [matemática] a (5) ^ 3 + b (5) ^ 2 + c (5) + d = 3 [/ matemática]
[matemática] p (-2) = 0 [/ matemática] significa [matemática] a (-2) ^ 3 + b (-2) ^ 2 + c (-2) + d = 0 [/ matemática]
[matemática] p (7) = – 1 [/ matemática] significa [matemática] a (7) ^ 3 + b (7) ^ 2 + c (7) + d = -1 [/ matemática]
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Entonces tenemos
[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 y 1 y 1 ^ 2 y 1 ^ 3 \\ 1 y 5 y 5 ^ 2 y 5 ^ 3 \\ 1 y -2 y (-2) ^ 2 y (-2) ^ 3 \\ 1 y 7 y 7 ^ 2 y 7 ^ 3 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} d \\ c \\ b \\ a \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ -1 \ end {pmatrix} [/ math]
[matemáticas] \ begin {pmatrix} d \\ c \\ b \\ a \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 y 1 y 1 ^ 2 y 1 ^ 3 \\ 1 y 5 y 5 ^ 2 y 5 ^ 3 \\ 1 & -2 & (-2) ^ 2 & (-2) ^ 3 \\ 1 & 7 & 7 ^ 2 & 7 ^ 3 \ end {pmatrix} ^ {- 1} \ begin {pmatrix } 2 \\ 3 \\ 0 \\ -1 \ end {pmatrix} [/ math]
Entonces, una matriz de Vandermonde se usa naturalmente para encontrar un polinomio que pase por puntos conocidos.