Giri tiene razón, pero intentaré satisfacer su solicitud específica de una respuesta más “intuitiva”. Para que esto sea efectivo, debes tener algunos antecedentes, quizás matemáticos o incluso físicos. Soy físico, así que mi respuesta será desde esa perspectiva.
Aunque la “similitud” entre matrices es una relación matemática abstracta bien definida (la entrada de Wikipedia puede ayudar), en física tiene un significado particular y se encuentra comúnmente en mecánica en general y en mecánica cuántica específicamente. La razón de esto es que las matrices son representaciones de “operadores” que actúan (principalmente) en vectores o (en mecánica cuántica) vectores abstractos. En ese contexto, puedo escribir una ecuación en la forma:
[matemáticas] A v = v ‘[/ matemáticas]
y explique que A es una operación realizada en el vector v para producir un nuevo vector v ‘ . Por supuesto, eso no significa nada en sí mismo. Resulta que en la mecánica cuántica, todo lo que se puede observar sobre un objeto mecánico cuántico, como digamos un electrón, corresponde a algún tipo de operador y cada objeto mecánico cuántico corresponde a un tipo de vector.
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Hay un operador para observar el momento de un objeto cuántico, por ejemplo, y el objeto cuántico existe como una especie de vector “abstracto”. El término “abstracto” transmite que sus representaciones matemáticas tienen las propiedades de los objetos en un espacio vectorial, pero pueden no prestarse para una fácil visualización como vectores que puede dibujar en una pizarra. Para desarrollar esta noción un poco más, uno de los tipos más comunes de expresiones matemáticas en física, y dominante en la mecánica cuántica en particular, es el siguiente:
[matemáticas] A v = \ lambda v [/ matemáticas]
donde el nuevo símbolo lambda se llama valor propio del operador A. Lo que dicen estas afirmaciones es que [math] \ lambda [/ math] es un posible valor de la propiedad observable de v que se observa matemáticamente aplicando el operador A a v . En el caso del operador de momento, el valor propio sería el momento de las partículas.
PD: hay un esquema de notación omnipresente utilizado en estas circunstancias que aparecerá tan rápido como profundice en este tema. Fue inventado por Dirac y se llama notación de Dirac. En esa notación, la ecuación anterior se vería así:
[matemáticas] A | v> = a | v> [/ matemáticas]
Menciono esta soledad para prepararlo para reconocerlo si lo ve como otra forma de escribir lo que ya he escrito y terminaré esta digresión diciendo que expresiones como
[matemáticas] = c [/ matemáticas]
Básicamente, digamos que es que los vectores u y v se pueden combinar a través de un operador para producir un solo número, a menudo una probabilidad, pero cuando u y v son vectores base de un sistema de coordenadas, esta también resulta ser la forma en que los elementos de la matriz son construido.
Sé que esto ha sido bastante abstracto, pero ahora soy capaz de dar un salto hacia el papel y la idea involucrados cuando se discute la “similitud” en este contexto.
Entonces … todas esas expresiones abstractas anteriores están bien para poner en algún tipo de notación lo que estás tratando de hacer, pero cómo hacer realmente el cálculo que infieren no es del todo obvio solo por esto. El gran salto se produce cuando aprendes a construir “representaciones” de operadores y vectores para que puedas obtener números concretos. Como comencé diciendo, los “operadores” como se usaron anteriormente son implementados computacionalmente por las matrices. Perderé a ti y a todos los demás si sigo adelante y explico cómo se hace, pero solo quiero enfatizar que las representaciones de operadores como matrices no se pueden construir a menos que especifiques un sistema de coordenadas en el que se va a realizar el cálculo. Necesita un marco de direcciones, representado por vectores “básicos”. Una vez que conozca los detalles de su sistema de coordenadas, es posible construir operadores en forma de matrices concretas reales y siempre podrá hacerlo si también sabe cómo su operador transforma esos vectores base, lo que es notable que generalmente realmente sabrá .
Finalmente estamos listos para transmitir lo que significa similitud.
Usted “elige” los sistemas de coordenadas, aunque a menudo la opción más conveniente se presentará naturalmente de acuerdo con la forma en que se describe la geometría de la situación problemática. Tal vez un sistema de coordenadas esféricas parezca más natural o tal vez sea factible usar unas simples coordenadas cartesianas antiguas. El PUNTO CLAVE # 1 es que el operador tiene un tipo de realidad propia independiente de cualquier elección de sistema de coordenadas, pero necesita elegir el sistema de coordenadas o no tiene forma de construir una representación de ese operador como una matriz. Ya te he vuelto loco al llegar a este punto, así que evito profundizar en los detalles, pero ahora tengo suficiente para al menos terminar lo que comencé.
El PUNTO CLAVE # 2 es que una vez que haya construido una representación matricial de un operador utilizando un sistema de coordenadas particular, puede usar una transformación de similitud para construir la representación del mismo operador en un sistema de coordenadas diferente. En la jerga de la teoría de matrices, las dos representaciones del mismo operador se llaman “similares” y una de las formas en que se manifestará esta “similitud” es que ambas matrices representativas tendrán los MISMOS valores propios. Si el mundo muy real y (créalo o no muy físico y computacional) de los cálculos reales de este tipo, esos valores propios de hecho representan valores de la propiedad que el operador le da una forma de medir. Esos valores son observables y, por lo tanto, deben estar representados por el mismo número real simple y antiguo sin importar cuál sea su elección del sistema de coordenadas. Son una especie de realidad definitiva independiente de la elección del sistema de coordenadas y, por lo tanto, esos valores no deben cambiar solo porque cambias los sistemas de coordenadas. Esa es la idea. Armado con esta idea, podría tener más sentido de las muchas explicaciones excelentes de cómo construir realmente tales transformaciones. Se basarán en dos cosas que he mencionado: (1) debe ser capaz de describir sus sistemas de coordenadas en términos de vectores básicos (consulte esto) y (2) debe tener una forma de saber cómo su operador transformará los vectores básicos – que suele ser particularmente simple. Conociendo estas dos cosas, puede construir su operador y la transformación de similitud necesaria para transformar su representación en un sistema de coordenadas en su representación equivalente en otro.
Asumí que tenía antecedentes muy limitados en este tema, lo que explica la atención en cómo se expresaron las cosas. A menos que ese fondo se conozca más específicamente, es imposible saber si la explicación es demasiado elemental o demasiado avanzada. Mi elección táctica fue hacer resaltar y alcanzar un crescendo de manera adecuada para ayudarlo a desentrañar explicaciones más formales y completas. Con suerte, has adquirido al menos algo de intuición que te ayudará. Juegue en Wikipedia o en muchos otros sitios informativos y pedagógicos en línea y vea qué sucede.