¿Cuál es la intuición matemática de lo que es una norma de operador de una matriz M?

Answer 1

Se supone que una norma es una medida de tamaño (real) en un espacio vectorial. Tenemos una buena noción de cuán grande es un vector en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math], en el sentido de la distancia euclidiana; pero esa definición no funciona para otros espacios vectoriales, o espacios (como el espacio de matrices [math] n \ times n [/ math]) en los que estamos pensando con una estructura adicional. A saber: una matriz es (o es código para) un mapa lineal.

Básicamente, ¿qué es una medida de tamaño razonable para un mapa? Bueno, comencemos diciendo que el mapa de identidad debería tener el tamaño 1. De hecho, el mapa múltiple escalar [math] \ lambda I_n [/ math] debería tener el tamaño [math] \ | \ lambda \ | [/ math]. Y un mapa que es solo una rotación de esos debería tener el mismo tamaño. Y así.

Básicamente, la única definición que termina teniendo sentido es “la norma de un mapa es la (norma de) la imagen más grande de un vector unitario debajo de ese mapa”. Geométricamente, eso significa

• comience con la esfera de la unidad en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math]
• aplicar el mapa; obtendrás un elipsoide
• encuentre el diámetro de ese elipsoide (la mayor distancia entre dos puntos) y divida por 2 (para obtener la mayor distancia desde el origen hasta un punto).

Esa es tu norma.

Answer 2

Una matriz transforma la esfera de la unidad en una elipse. La norma 2 de la matriz es la longitud del eje principal de la elipse; Es el máximo estiramiento que puede causar la matriz. (Tenga en cuenta que esta intuición es específica de la norma 2. Otras normas darían diferentes formas).