¿Cuál es la descomposición del valor propio de una matriz simétrica oblicua de cualquier orden?

Answer 1

Los valores propios de una matriz simétrica sesgada cuyas entradas son números reales son todos puramente imaginarios. Los distintos de cero vienen en pares, cada uno la negación del otro. Si el orden n de la matriz es impar, al menos uno de los valores propios tiene que ser 0. Además, la matriz es diagonalizable con los valores propios hacia abajo en diagonal.

Para n = 2 o 3, es fácil encontrar los valores propios. Cuando n = 2 y los dos elementos fuera de la diagonal son ± a , entonces los valores propios son ± ai. Cuando n = 3 y los elementos fuera de la diagonal son ± a , ± b y ± c , entonces los tres valores propios son [matemática] 0, \ pm i \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2}. [/matemáticas]

Estoy seguro de que puede encontrar fórmulas para n = 4, y tal vez incluso hasta n = 9, pero más allá de eso dudo que los valores propios puedan expresarse en términos de las entradas de la matriz usando radicales.