Los valores propios de una matriz y sus multiplicidades son invariantes bajo una transformación de similitud. Podemos entender esto de la siguiente manera.
Deje que [math] A [/ math] sea un operador que opera en algún espacio vectorial de dimensiones finitas. Podemos representar todos los vectores en el espacio vectorial como matrices de columna y los operadores como matrices cuadradas (incluyendo A) si elegimos alguna base particular para el espacio vectorial. (Algo así como elegir direcciones arbitrarias para ser ejes X, Y y Z en el espacio euclidiano).
[math] A [/ math] actúa sobre algún vector [math] p [/ math] (ahora representado como matriz de columnas) como este:
[matemáticas] q = Ap [/ matemáticas]
Supongamos que ahora decidimos usar una nueva base. En la nueva base, los operadores y los vectores seguirán representados como matrices de columnas y cuadrados, respectivamente; pero con diferentes elementos La nueva representación para vectores (por ejemplo, [matemática] \ tilde p [/ matemática]) se obtiene aplicando alguna transformación (también representada por una matriz cuadrada) [matemática] M [/ matemática].
[matemáticas] \ tilde p = Mp [/ matemáticas]
Similar,
[matemáticas] \ tilde q = Mq [/ matemáticas]
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Ahora, queremos encontrar cuál será la nueva representación de [matemáticas] A [/ matemáticas] (que sea [matemáticas] \ tilde A [/ matemáticas]). [matemática] A [/ matemática] seguirá transformando [matemática] p [/ matemática] a [matemática] q [/ matemática] sin embargo, están representados.
[matemáticas] \ tilde q = \ tilde A \ tilde p [/ matemáticas]
Ahora deja multiplicar la ecuación A original con M.
[matemáticas] Mq = MAP [/ matemáticas]
Multiplicando a la izquierda el cambio de ecuaciones básicas para [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas] con [matemáticas] M ^ {- 1} [/ matemáticas] da (suponga que [matemáticas] M [/ matemáticas] ] tiene un inverso)
[matemáticas] M ^ {- 1} \ tilde p = p [/ matemáticas]
[matemáticas] M ^ {- 1} \ tilde q = q [/ matemáticas]
Sustituyendo,
[matemáticas] MM ^ {- 1} \ tilde q = MAM ^ {- 1} \ tilde p [/ matemáticas]
[matemáticas] \ tilde q = MAM ^ {- 1} \ tilde p [/ matemáticas]
Es decir,
[matemáticas] \ tilde A = MAM ^ {- 1} [/ matemáticas]
Esta es la idea detrás de una transformación de similitud.
Suponga que [math] a [/ math] es un valor propio de [math] A [/ math].
[matemáticas] Hacha = hacha [/ matemáticas]
Si cambiamos la base, las representaciones de [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] x [/ matemáticas] cambian; pero [matemáticas] a [/ matemáticas] no lo hace porque es un escalar. (a la izquierda, multiplique la ecuación anterior con [matemáticas] M [/ matemáticas] e inserte una identidad [matemáticas] I = MM ^ {- 1} [/ matemáticas] entre [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] x [ /matemáticas].)
[matemáticas] \ tilde A \ tilde x = a \ tilde x [/ matemáticas]
Es decir, los valores propios no cambian cuando haces una transformación de similitud.