Cómo diagonalizar una matriz que va de R ^ 2 a R ^ 3

Answer 1

Sea A una matriz de 2 por 3
Denote por B la matriz que es 3 por 3 agregando una fila cero a A
Por cierto, sabemos que al menos un valor propio de B es cero.

Ahora supongamos que tenemos la descomposición [matemática] B = T. ^ {- 1} diag ({\ lambda}) T [/ matemática]

Esta descomposición siempre existe cuando los 3 valores propios, denotados por lambda arriba, son distintos y a veces existe de otra manera.
Ahora denote por [matemáticas] T (k), B (k) [/ matemáticas] la fila k-ésima y la columna de T y B respectivamente. Entonces se deduce inmediatamente que

[matemáticas] B (k) = \ lambda {(k)} T (k) [/ matemáticas]

Concluimos que la descomposición propia de B nos da la diagonalización que queremos. ¡Tenga en cuenta que podemos eliminar la última columna de T y la fila de B y obtenemos la base 2 × 3 que queríamos!

¡No hice un SVD pero te di lo que quieres! Salud

Answer 2

¿Estás seguro de que siempre es posible? Pensé que la forma más general era algo así como LU, donde L es diagonal inferior y U es diagonal superior. (¿Está hablando de valores propios complejos, creo que sí? Espere, valores propios, cuando la matriz no es cuadrada, eso ni siquiera tiene sentido). Creo que T puede sesgar las cosas inherentemente, pero podría estar equivocado . De todos modos, necesita una base (u1, u2) en el espacio bidimensional y una base (v1, v2) en el espacio tridimensional para que Tu1 = d1 v1 y Tu2 = d2 v2 y creo que estará configurado . Siéntase libre de corregirme si estoy completamente equivocado.