Creo que si eres un estudiante de 12º grado, no te interesarían los determinantes mayores que el orden 3, ¿no? En ese caso, sustituya directamente det (A), det (B) y det (AB) con sus expansiones. El cálculo será algo largo, pero no se puede deshacer.
Para comprender la prueba en el caso general, deberá comprender qué son los determinantes del orden n. Si bien eso puede explicarse de manera bastante comprensible utilizando las herramientas matemáticas accesibles para un alumno de 12º grado, estaría más allá del alcance de una respuesta corta de Quora.
Editar: A pedido del autor de la pregunta, aquí hay un resumen de la prueba para matrices de 3 x 3:
A = ([matemáticas] a_ {ij} [/ matemáticas]), B = ([matemáticas] b_ {jk} [/ matemáticas]).
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Verifique que esto significa AB = ([matemática] c_ {ik} [/ matemática]) = ([matemática] \ sum_ {j = 1} ^ 3 {a_ {ij} b_ {j_k}} [/ matemática]).
det A = [matemáticas] \ sum {(- 1) ^ {p + q + r} a_ {1p} a_ {2q} a_ {3r}} [/ matemáticas], donde p, q y r están definidos por el pares ordenados (p, q, r), que son todos los arreglos posibles de 1, 2 y 3.
De manera similar det B = [matemáticas] \ sum {(- 1) ^ {x + y + z} b_ {1x} b_ {2y} b_ {3z}} [/ matemáticas].
Por lo tanto, det A [math] \ times [/ math] det B tendrá la forma [math] \ sum {(- 1) ^ {p + q + r + x + y + z} a_ {1p} a_ {2q } a_ {3r} b_ {1x} b_ {2y} b_ {3z}} [/ math].
Lo dejaré como un ejercicio para demostrar que det AB también se compone de términos idénticos en algún orden.