¿Por qué las columnas de la matriz A son linealmente independientes cuando la única solución para Ax = 0 es x = 0?

Answer 1

¡Porque eso es más o menos lo que significa la independencia lineal!

Primero, es importante darse cuenta de algo sobre la multiplicación de matrices. Si [math] x [/ math] es un vector de columna y [math] A [/ math] es una matriz, entonces [math] Ax [/ math] es un vector de columna nuevamente, ¿verdad? En particular, es un vector de columna que es una combinación lineal de las columnas de [math] A [/ math]. Comprueba por ti mismo:

[matemáticas] \ begin {pmatrix}
a_1 y b_1 y c_1 y d_1 \\
a_2 y b_2 y c_2 y d_2 \\
a_3 y b_3 y c_3 y d_3 \ end {pmatrix} [/ math] [math]
\ begin {pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\ end {pmatrix} [/ math]
[matemáticas] = x_1 \ begin {pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\ end {pmatrix} [/ math] [math] + x_2 \ begin {pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\ end {pmatrix} [/ math] [math] + x_3 \ begin {pmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
c_3 \ end {pmatrix} [/ math] [math] + x_4 \ begin {pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \ end {pmatrix} [/ math]

Esto funciona para matrices y vectores de columna de cualquier tamaño compatible. Entonces, para cualquier conjunto de vectores de columna, podemos escribir una combinación lineal arbitraria de una matriz por un vector de columna . La matriz tiene los vectores como sus columnas y el vector de la columna tiene los coeficientes de cada vector en la combinación lineal.

Ahora solo escriba la definición de independencia lineal usando esta notación de matriz-vector y debería ver lo que está sucediendo.

EDITAR: Lamento que la pantalla matemática no funcione. Estoy trabajando en ello.