¿Cómo se estudian mejor las pruebas en álgebra lineal?

Answer 1

Prefacio: hago las cosas de la manera difícil. Usualmente no recordaba las pruebas porque sabía cómo obtener los resultados por mi cuenta. Vi pruebas como la aplicación de mi comprensión. Esto me llevó a hacer más trabajo que mis compañeros, pero obtuve la calificación más alta porque sabía POR QUÉ funcionaba y podía aplicarlo en otros lugares.

Cuando estaba tomando álgebra lineal, aprendí más de mis respuestas incorrectas (tarea, exámenes, cualquier cosa). Una vez que obtuve la respuesta final, pude realizar ingeniería inversa para comprender lo que necesitaba mostrar y, en función de las reglas del problema, pude determinar qué me dio cada paso y en qué reglas se basó. Otras veces, el problema requería una transformación particular para hacer que otra regla encajara mejor, que luego podría usar para otros problemas. De cualquier manera, aprenda los conceptos básicos y no simplemente memorice pruebas.

En una nota al margen, dos de las peores clases que tomé suenan similares a las tuyas. Los ejemplos (estadísticas) siempre tuvieron coeficientes triviales que no afectaron el problema de manera significativa, lo cual nunca fue el caso en los exámenes, o los problemas (álgebra abstracta) fueron tan teóricos que las reglas que rigen a los grupos nunca se explicaron lo suficientemente bien como para aplicarlos a los problemas. A veces los maestros y los libros son simplemente malos. Desafortunadamente, esto conduce a una menor comprensión por parte de los estudiantes y solo aquellos que instintivamente “lo entienden” tendrán éxito. Siento por ti si este es el caso, y espero que no renuncies al tema en el futuro.

Answer 2

La maestra está enseñando pruebas porque construyó ejemplos cuando era estudiante. Ahora es tu turno de hacer lo mismo. Una prueba es un esquema general para entender el razonamiento. A menos que pueda ver dónde se utilizó cada parte de la hipótesis, no ha entendido realmente la prueba.

En palabras de Paul Halmos:
“¡No solo lo leas; lucha! Haz tus propias preguntas, busca tus propios ejemplos, descubre tus propias pruebas. ¿Es necesaria la hipótesis? ¿Es verdad lo contrario? ¿Qué sucede en el caso especial clásico? ¿Qué pasa con los casos degenerados? ¿Dónde utiliza la prueba la hipótesis?
Quiero ser matemático (Washington 1985). [1]

Puedes intentar leer FDVS de Halmos, Álgebra lineal de Strang o Álgebra lineal de Huffman Kunze. En general, me resulta cómodo tener muchos libros conmigo. Me da muchos ejemplos. Y a veces, cuando no entiendo una prueba de uno de los libros, el otro me rescatará. Otra forma potencialmente útil de aprender a construir pruebas es
a) Discutir estrategias de prueba con compañeros de clase.
b) Utilizando foros de matemáticas en línea como MSE, Quora para obtener información de expertos.

Por supuesto, discutir con su profesor sería la solución más ideal.

[1] Citas de Halmos

Answer 3

De hecho, estás preguntando dos preguntas, y no una:

• ¿Cómo se estudian mejor las pruebas en álgebra lineal?
• ¿Cómo se puede aprender álgebra lineal sin ejemplos explícitos?

Por suerte para mí, tus dos preguntas comparten una respuesta común. La clave está en el “álgebra lineal” en sí. Toda la teoría fue inventada para formalizar lo que solíamos hacer con nuestras manos: la geometría. Geometría lineal , eso es.

La mejor manera de aprender un teorema es probarlo usted mismo , y la mejor ayuda que puede obtener para el álgebra lineal proviene de la intuición visual.

¿Sabes qué aplicaciones lineales hacen el espacio? ¿No cómo se ven , o cómo puedes calcularlos, sino cómo, visualmente, modifican el espacio? Si no, te recomiendo la Esencia del álgebra lineal de 3Blue1Brown (YouTube), es una serie corta de videos de 10 minutos que son geniales para construir una intuición para el álgebra lineal.

En cualquier caso, no sé qué tan profundo eres en álgebra lineal, y por supuesto, los teoremas como “En dimensión finita, cualquier endomorfismo real con espectro vacío permite un plan estable” no se puede construir realmente desde la intuición.

Pero espero que llegue un día en que estés bastante convencido de que [math] \ displaystyle M_n (\ mathbb R) \ setminus GL_n (\ mathbb R) [/ math] es de alguna manera una superficie en [math] \ mathbb R ^ {( n ^ 2)} [/ math], y por lo tanto es bastante intuitivo que [math] GL_n (\ mathbb R) \ [/ math] es denso en [math] M_n (\ mathbb R) [/ math]

Answer 4

Puedo intentar responder esto, pero realmente deberías hacerle a tu maestro la misma pregunta.

¿Entiende y puede seguir las pruebas, paso a paso? Si no, trate de resolverlos y haga preguntas.

El maestro podría pensar que los ejemplos son fáciles. Intenta inventar algunos. Si no puedes, pide algunos.

Sí, suena como demasiadas preguntas. Quizás haya muy poca información y contexto que se le brinde, para que pueda aprender de forma independiente. Si crees que eso apesta, estoy de acuerdo.

Answer 5

Algunas pruebas del álgebra lineal implican construcciones y procedimientos artificiales y profundos. No son tantos, y deberían estudiarse como tales … no están destinados a ser redescubiertos, sino a ser entendidos.
La mayoría de las pruebas son sobre la técnica … por lo que deben tratarse como ejercicios teóricos y resolverse … no contienen ninguna idea especial, solo tiene que conocer y comprender las definiciones y las declaraciones / pruebas anteriores.
Un libro que sigue (más o menos) ideas similares es “Espacios de vectores de dimensiones finitas” de Paul Richard Halmos, 1978.
Un libro que puede usarse para estudiar pruebas es “El álgebra lineal, un estudiante graduado principiante que debe saber”, 3e 2012. También tiene ejercicios típicos que puede intentar resolver (no con soluciones). Mientras avanza la teoría, siempre debe tratar de encontrar ejercicios numéricos, así como interpretaciones no matemáticas. Son igualmente importantes, incluso si su maestro parece estar principalmente preocupado por las pruebas.

Answer 6

Agarra un libro de texto complementario; uno con ejemplos trabajados. Para probarse más, obtenga un libro de problemas como los esquemas de Schaum.