¿Por qué debería importarme el concepto de pseudoinverso de una matriz?

Answer 1

El uso más común de una matriz pseudo-inversa es encontrar una solución aproximada de mínimos cuadrados para un sistema descrito por una matriz no invertible.

Hay algunas matrices que no tienen inversa (conocidas como matrices “singulares”). Si el determinante de la matriz es 0, entonces no tendrá inversa. A veces te encuentras con un sistema donde esto sucede.
Por ejemplo,
[2 6
1 3]
No tiene inversa.

La forma más común de construir un pseudoinverso es usar la regla

donde A + es el pseudoinverso. AA + no necesariamente se convierte en la matriz de identidad, y de hecho para una matriz singular, no lo es, pero la multiplicación del producto por A nuevamente produce A.

Para el cálculo, encuentra el mínimo de | AX – I | ^ 2, y la solución X es el pseudoinverso.

Answer 2

El propósito de la pseudo-inversa es hacer lo mejor que puede hacer en caso de que no pueda obtener una inversa real y satisfacer su necesidad hasta cierto punto.

Por lo general, necesita el inverso de una matriz para resolver Ax = b, multiplicando ambos lados con [math] A ^ {- 1} [/ math] para cancelar A y salir con [math] x = A ^ {- 1} b [/ matemáticas]. Pero [math] A ^ {- 1} [/ math] se define solo para matrices cuadradas, e incluso para ellas puede no existir. Cuando A es rectangular, es decir, el número de ecuaciones y el número de incógnitas no son iguales, aún desea encontrar una solución x que se ajuste a la restricción dada lo mejor posible. Entonces, un pseudo-inverso le permite obtener algún tipo de solución, incluso si no es una solución perfecta.

Answer 3

Aprendí sobre aplicaciones de pseudo-inversas de la primera edición de este libro hace muchos años: Linear Models Wcl Paper. Si puede encontrar una copia en la biblioteca de una universidad, su valor en las estadísticas pronto quedará claro.