Cómo resolver desigualdades como esta: [matemáticas] \ frac {x ^ 2-2} {x}> 0 [/ matemáticas]

Answer 1

Divide las funciones en múltiples funciones:
[matemáticas] f (x) = \ frac {x ^ 2-2} {x} = \ frac {g (x)} {h (x)} [/ matemáticas]
dónde
[matemáticas] g (x) = x ^ 2-2 [/ matemáticas]
y
[matemáticas] h (x) = x [/ matemáticas]

Ahora, resuelva [matemáticas] g (x)> 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] h (x)> 0 [/ matemáticas]
[matemática] h (x)> 0 [/ matemática] es fácil, es solo [matemática] x> 0 [/ matemática]

[matemáticas] g (x) [/ matemáticas] parece

entonces [matemática] g (x)> 0 [/ matemática] por cada [matemática] x \ sqrt {2} [/ matemática]

Si hacemos una mesa, obtenemos:

La última fila se obtiene así:
– / – = +
– / + = –
+/- = –
+ / + = +

0 / cualquier cosa = 0
cualquier cosa / 0 = indefinido

Ahora podemos ver fácilmente las soluciones:

[matemáticas] – \ sqrt {2} <x <0 [/ matemáticas] o [matemáticas] \ sqrt {2} <x [/ matemáticas]

Answer 2

Aquí hay un buen organizador para este tipo de problema: el gráfico de signos .

Como dijo Adrian, debemos considerar los tres ceros del numerador / denominador: [math] \ pm \ sqrt {2} [/ math] y [math] 0 [/ math]. Luego los graficamos en una recta numérica (ver el gráfico a continuación). Como sabemos [matemáticas] x \ ne \ pm \ sqrt 2, \; 0 [/ matemáticas], ponemos círculos abiertos en cada una de las raíces.

Aquí está la clave de este método: sabemos que dado que estos son todos los ceros / discontinuidades de la función, son los únicos lugares donde la función puede cambiar los signos. (Esto se llama el teorema del valor intermedio). Por lo tanto, podemos elegir cualquier punto que queramos en cada intervalo, llamado punto de prueba , y verificar si la función es positiva o negativa en todo ese intervalo . Como puede ver, he elegido los puntos de prueba -2, -1, 1 y 2, respectivamente.

Simplemente conectando estos números, encontramos que la función es positiva (¡es decir, mayor que cero!) En los dos intervalos [matemática] \ left (- \ sqrt 2, \; 0 \ right) \ text {y} \ left (\ sqrt 2, \; \ infty \ right). [/ math] Esto nos da nuestra solución.

[matemáticas] x \ in \ left (- \ sqrt 2, \; 0 \ right) \ cup \ left (\ sqrt 2, \; \ infty \ right). [/ math]

Answer 3

[matemáticas] \ frac {x ^ {2} -2} {x}> 0 [/ matemáticas] se puede reducir a:

[matemáticas] x- \ frac {2} {x}> 0 \ Flecha derecha x> \ frac {2} {x} [/ matemáticas]

Ahora esto se puede graficar usando una herramienta de trazado que le dará un gráfico como:

Las líneas azul y roja se cruzan en [matemáticas] x = \ pm 1.414 [/ matemáticas], porque [matemáticas] x = \ frac {2} {x} \ Rightarrow x ^ {2} = 2 \ Rightarrow x = \ pm \ sqrt {2} \ Leftrightarrow \ pm 1.414 [/ math]

[math] \ Rightarrow [/ math] La solución es [math] \ left (-1.414,0 \ right) \ cup \ left (+1.414, + \ infty \ right) [/ math]
Esto se puede confirmar trazando un gráfico para la función original: [matemáticas] \ frac {x ^ {2} -2} {x}> 0 [/ matemáticas]

Answer 4

La mejor manera posible de resolver preguntas sobre desigualdades son las siguientes:
a) Use las opciones (si están disponibles)
b) Divídalo en partes más pequeñas
c) Evitar la multiplicación con variables.

Intentemos resolverlo dividiéndolo en partes más pequeñas.

Se nos da [matemáticas] \ frac {x ^ 2-2} {x}> 0 [/ matemáticas]
Ahora, para que a / b sea positivo, ambos son positivos o ambos son negativos.

Caso 1: ambos son positivos

Numerador
[matemáticas] x ^ 2 – 2> 0 [/ matemáticas]
=> [matemáticas] x ^ 2> 2 [/ matemáticas]
=> [matemática] x <- \ sqrt 2 [/ matemática], o cuando [matemática] x> \ sqrt 2 [/ matemática].

Denominador
x> 0

La porción común en ellos es [matemáticas] x> \ sqrt 2 [/ matemáticas]

Caso 2: ambos son negativos

Numerador
[matemáticas] x ^ 2 – 2 <0 [/ matemáticas]
=> [matemáticas] x ^ 2 <2 [/ matemáticas]
=> [matemáticas] – \ sqrt 2

Denominador
x <0

La parte común en ellos es [matemáticas] – \ sqrt 2

Nuestra respuesta será la unión de dos conjuntos que hemos obtenido anteriormente, que es
[matemáticas] – \ sqrt 2
O
[matemáticas] x> \ sqrt 2 [/ matemáticas]

=> [matemáticas] (- \ sqrt 2, 0) [/ matemáticas] U [matemáticas] (\ sqrt 2, infinito) [/ matemáticas]

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Espero que esto ayude.

Answer 5

Tanto el denominador como el numerador son positivos o ambos son negativos.

Entonces
Caso I:
x ^ 2 – 2> 0 y x> 0
=> x> (2) ^ (1/2)

Caso II:
x ^ 2 – 2 => – (2) ^ (1/2)
Ahora tome la unión de ambos casos.