¿Cómo se define matemáticamente [math] 0 [/ math]?

Un conjunto se entiende axiomáticamente como una colección de cosas: números, ciudades, formas de lo que tienes. Eso en sí mismo es bastante aburrido y es cierto que no es muy útil. Entonces definimos estructuras en conjuntos. Algunas operaciones sobre los elementos del conjunto y algunas reglas para manipular cosas. Dependiendo del tipo de estructura que defina, terminará con cosas interesantes, como grupos, anillos, campos, topologías, álgebra, álgebra sigma y otras cosas.
Permítame darle un ejemplo de un grupo: el conjunto {0,1,2,3} es un grupo bajo la adición del módulo 4. Ahora, considere el grupo más grande y más conocido de enteros bajo la adición convencional . También se ven los números 0,1,2,3 en este conjunto. Pero tenga en cuenta otra característica interesante: es cierto que 5 no pertenece al grupo anterior, pero se comporta exactamente como el elemento 1 bajo la adición del módulo 4. No hay forma de distinguir los efectos, por así decirlo. Del mismo modo, 4,8,12, … se comportan como 0. Entonces, ¿qué significa esto? Una interpretación es que los elementos 0,1,2,3 no son números simples como pensábamos originalmente, sino que representan una familia completa de números en sí mismos, son clases de equivalencia. 0 aquí está la etiqueta para 0,4,8,12,…. Note que esto tiene sentido solo cuando piensa en este otro campo en el que nuestro grupo original estaba incrustado. Ahora, esto es lo que quería transmitirles: solo he dado un ejemplo de un grupo, un tratamiento similar se aplica a los anillos y los campos, y con un ligero cambio en la terminología, para varios álgebra, pero un 0 es el “cero elemento “en su propia estructura. Pregúntese esto, en el ejemplo anterior ¿QUÉ ES 0? cuál es su identidad: es a la vez, 0,4,8, y mucho más. Ahora piense en el grupo {0,1,2,3, 4} bajo la adición del módulo 5? Esto también tiene un cero. ¿Es el mismo cero? Bueno … 4, 8,12 ya no son 0 en este caso, pero tenga en cuenta que 20 es un 0 en ambos ejemplos. Finalmente, espero que ahora esté convencido de que no existe un 0 único, inequívoco, universal … un 0 es solo un elemento en una estructura algebraica que representamos como esta forma ovalada ‘0’. Además, diferentes ceros a través de diferentes estructuras pueden ni siquiera ser lógicamente comparables. Espero que esta larga explicación ayude.