¿Por qué [matemáticas] 1-2 + 3-4 + \ puntos [/ matemáticas] más ‘naturalmente’ es igual a [matemáticas] \ frac {1} {4} [/ matemáticas]?

Answer 1

Euler no tiene una prueba que implique agregar la serie cuatro veces a sí misma. Dichos trucos son matemáticamente incorrectos: cuando se trata de series, primero se debe demostrar que la serie es absolutamente convergente antes de hacer cosas como agregar paréntesis o cambiar el orden, porque para series que no convergen absolutamente estas operaciones pueden cambiar el resultado. Esta serie no es absolutamente convergente. De hecho, no es convergente en absoluto. Esto es fácil de ver al escribir la secuencia de suma parcial: (1, -1, 2, -2, 3, -3, …).

Lo que debe hacer para comprender el resultado de Euler es comprender que una suma es una operación binaria. Debido a que sumar progresivamente los elementos de un conjunto en cualquier orden da el mismo resultado, podemos definir inequívocamente una “suma de un conjunto finito”. Sin embargo, para conjuntos ininite, la “suma” no se generaliza naturalmente .
Dejar que la “suma” de una secuencia (serie) sea el límite de su serie de suma parcial es sencillo y fácil de entender. Pero es solo una posibilidad; en algunos casos, el límite de la serie no es lo suficientemente fuerte, lo que significa que a veces la serie es divergente, pero aún así es significativo hablar de la “suma”.

Un ejemplo es el análisis de Fourier y la suma de Cesaro. Sin entrar en detalles, el análisis de Fourier es el proceso de escribir una función periódica f como una suma infinita de senos y cosenos con diferentes períodos (o más naturalmente, exponenciales complejos). Resulta que esto es posible para una amplia clase de funciones, excepto por una advertencia: la suma infinita no siempre converge a f . Sin embargo, usando una idea diferente de “suma” llamada sumatoria de Cesàro, obtenemos propiedades mucho mejores.
La suma de Cesaro es una forma diferente de sumar en una serie infinita. Es igual a la definición de límite regular para series convergentes, pero también da un resultado finito para algunas series divergentes. Por lo tanto, la suma de Cesaro es similar a la definición de suma infinita estándar, pero más fuerte. El tipo de suma más apropiado para usar depende del contexto: a veces, solo queremos que las series convergentes tengan una suma, a veces es significativo también tener sumas para otras series . En el caso del análisis de Fourier, este último es el caso, porque al usar la suma de Cesaro podemos probar que el límite de la serie se aproxima a f en puntos continuos, o el promedio de los valores izquierdo y derecho en puntos discontinuos.

En el caso de la serie presentada en la pregunta, cualquiera de una amplia gama de métodos de suma proporciona el resultado descrito, aunque la suma de Cesaro no está definida. La página de wikipedia sobre series divergentes describe algunos de estos métodos. Ninguno de estos métodos de suma implican hocus pocus o agregar series a sí mismo . Es simplemente una definición diferente de suma que es más natural que la definición regular en algunos contextos.

Answer 2

[matemáticas] (1–2) + (3–4) +… [/ matemáticas] no es lo mismo que [matemáticas] 1–2 + 3–4 +… [/ matemáticas]. Si dice que es cierto, también podría decir que [matemáticas] 1 + (- 2 + 3) + (- 4 + 5) +… [/ matemáticas] es lo mismo que [matemáticas] 1–2 + 3– 4 + … [/ math], que asumiste que era lo mismo que [math] (1–2) + (3–4) +… [/ math].

Estoy bastante seguro de que, naturalmente, quieres decir que tiene sentido en el mundo real. En primer lugar, ¿crees que [matemáticas] ∞ [/ matemáticas] y [matemáticas] -∞ [/ matemáticas] son ​​naturales? No, porque ambos son números interminables. No tienen un final, y puedes convertirlo en una paradoja diciendo [matemáticas] ∞ + 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] (- ∞) -1 [/ matemáticas], porque eso muestra que puedes pasar el nunca final, y eso significa que hay un límite. Se supone que el infinito no se representa ni se pretende que sea un número, ni se supone que se representa como un número contable.

¿Crees que es posible incluso tener una cantidad infinita negativa de objetos en tu habitación o ser torturado infinitamente? Infinitamente torturado significa que ya estás muerto y que estás siendo torturado mientras estás muerto, haciéndote aún más muerto, y pronto haciéndote infinitamente muerto.

No podemos imaginar el infinito tanto como podemos con googolplex. Creemos que googolplex es tan igual como el infinito. ¡Creemos que el número más grande es googolplex o infinito cuando ni siquiera hemos hablado de diez con el poder de 70!

En segundo lugar, ¿crees que infinito o infinito negativo es más natural que [matemáticas] 1/4 [/ matemáticas]? ¡No claro que no! El infinito no es un número y, por lo tanto, no es natural. El infinito es una paradoja y no tiene sentido. El infinito es inalcanzable. El infinito negativo no es un número y, por lo tanto, no puede considerarse el número más pequeño o tan natural como el googol. El infinito negativo es demasiado inimaginable, inalcanzable. Un cuarto es un número que no conduce a una paradoja, es contable y accesible, es una unidad común como para cocinar, no se discute tanto como [matemáticas] 0.999 … = 1 [/ matemáticas] a pesar de que los matemáticos están de acuerdo con eso, es compuesto por la división entre uno y cuatro, y es una fracción propia regular menor que 1.

¿Por qué [matemáticas] 1/4 [/ matemáticas] es más natural que infinito o infinito negativo? Dígame usted.

Answer 3

Es igual a infinito porque sumas infinitamente (-1) + (- 1) …