Cómo demostrar que para todos los números reales positivos x e y, (x + y) / 2 = sqrt (xy) si y solo si x = y

Answer 1

P: “¿Cómo pruebo que para todos los números reales positivos x e y, (x + y) / 2 = sqrt (xy) si y solo si x = y”.

Tenga en cuenta que ” si y solo si” (a menudo abreviado a IFF) consta de 2 pruebas: primero, “la declaración A implica la declaración B” y luego viceversa: “la declaración B implica la declaración A” (no ha terminado hasta has demostrado la implicación en ambos sentidos).

Primero demuestre que: ” para todos los números reales positivos x e y, (x + y) / 2 = [matemática] \ sqrt {xy} [/ matemática] implica x = y”

Cuadrando ambos lados, tienes:

[matemáticas] \ dfrac {x ^ 2 + 2xy + y ^ 2} {4} = xy [/ matemáticas]

lo que lleva a [matemáticas] x ^ 2 -2xy + y ^ 2 = 0 \ implica (xy) ^ 2 = 0 \ implica x = y [/ matemáticas] . La primera parte de tu prueba está hecha.

Para la segunda parte del “si y solo si”, lo que debe mostrar es que ” para todos los números reales positivos x e y, x = y implica que (x + y) / 2 = [matemáticas] \ sqrt {xy } [/ math] “. Ahora si y = x, simplemente reemplace y con x en todas partes: el lado izquierdo de esa expresión da (x + x) / 2 = x , el lado derecho es [math] \ sqrt {x \ times x} [/ math ] = x, para x positivo, por lo que es cierto.

Answer 2

Prueba por contraejemplo: Tome x = 2 e y = 8, luego LHS = 5 y RHS = 4. Claramente no es cierto para todos los números reales positivos.

Por otro lado, si [math] x \ neq y [/ math], entonces
[matemáticas] (\ sqrt {x} – \ sqrt {y}) ^ 2> 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x + y – 2 \ sqrt {xy}> 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {x + y} {2}> \ sqrt {xy} [/ matemáticas]

Este es un caso más simple de una desigualdad más general conocida como Desigualdad de medios aritméticos y geométricos.

Answer 3

Al cuadrar ambos lados deberías obtener (x + y) ² / 4 = xy y por lo tanto x² + 2xy + y² = 4xy.
Al restar 4xy de ambos lados obtienes x²-2xy + y² = 0
Esto significa (xy) ² = 0, por lo tanto, xy debe ser 0, y esto significa x = y.

Answer 4

Supongamos que x ≠ y.

Deje y = x + c

(x + y) / 2 = x + c / 2

√xy = √ (x ^ 2 + xc)

Ahora si √ (x ^ 2 + xc) = x + c / 2,

Entonces x ^ 2 + xc = (x + c / 2) ^ 2, lo cual es cierto solo si c = 0

Por lo tanto x = y