Hay muchos tipos de espirales. Más simple es la espiral de Arquímedes.
Así es como esto luce….
Analicemos cómo se comporta matemáticamente.
- Mucha gente de software que conozco odia las matemáticas. Viniendo de un fondo matemático, esto me parece realmente extraño. Una base matemática sólida facilita mucho la CS. ¿Por qué la gente de software odia las matemáticas?
- Tengo poco más de 30 años y finalmente entiendo cuán importante es la matemática. Yo, sin embargo, apesta. Me gustaría alcanzar una comprensión saludable del cálculo, pero no podría pasar el álgebra universitaria si lo tomo ahora. ¿Cómo empiezo?
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Imagine una flecha desde el origen a cualquier punto (x, y) en la espiral. supongamos que su longitud es “r” y forma un ángulo [matemático] “\ theta” [/ matemático] con el eje X.
Ahora observe que mientras tratamos de mover la punta de la flecha a lo largo de la espiral [matemática] “\ theta” [/ matemática] aumenta linealmente y la longitud de la flecha también aumenta en consecuencia. Entonces podemos decir eso en espiral
[matemáticas] r \ propto \ theta [/ matemáticas]
Entonces, podemos escribir
[matemáticas] r = k \ theta [/ matemáticas]
k = alguna constante.
Ahora una pregunta es dónde comienza \ theta desde [matemáticas] 0 ^ o, 180 ^ 0 … [/ matemáticas]. es decir, no hay obligación de que “r” sea cero solo cuando [math] \ theta [/ math] es cero. También puede ser cero para otro valor de [math] \ theta [/ math]. Digamos como [math] \ theta_o [/ math]. Entonces, en ese caso, podemos escribir nuestra ecuación como
[matemáticas] r = k (\ theta – \ theta_o) [/ matemáticas]
Ahora, esta es la ecuación general de la espiral 2D centrada en el origen, en coordenadas polares. Vamos a convertirlo al sistema cartesiano (x, y) en caso de que no esté familiarizado.
Aquí asumimos “r” como distancia del punto desde el origen. Que en el sistema cartesiano es [math] \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} [/ math].
Ahora el ángulo de flecha con el eje X se puede escribir como [matemáticas] \ arctan (\ frac {y} {x}) [/ matemáticas]
Entonces,
[matemáticas] r = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] \ theta = \ arctan (\ frac {y} {x}) [/ matemáticas]
Sustituyamos esto en la ecuación de espiral obtenida anteriormente
obtenemos
[matemáticas] \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = k (\ arctan (\ frac {y} {x}) – \ theta_o) [/ math]
[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = k ^ 2 (\ arctan (\ frac {y} {x}) – \ theta_o) ^ 2 [/ matemáticas]
Esta es la ecuación general de la espiral de Arquímedes en un sistema de coordenadas rectangulares.
Bueno, puedes hacer una espiral tuya usando la fórmula de “r” y [math] \ theta [/ math]. Al indicar “r” como cualquier función de [math] \ theta [\ math]. (Aquí declaramos como proporcional a)
[matemáticas] r = f (\ theta) [/ matemáticas]
“f” puede ser cualquier cosa, función exp, función cuadrada, etc.
Espero que hayas entendido. 🙂