Sí, de hecho, puede obtener ambos de la expansión de la serie para [math] e ^ x [/ math].
En general, la expansión de la serie Taylor de una función viene dada por
[matemáticas] f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!} x ^ n [/ matemáticas]
donde [math] f ^ {(n)} (0) [/ math] es la derivada [math] n ^ {th} [/ math] de [math] f (x) [/ math] evaluada en [math] x = 0 [/ matemáticas]. Pero la derivada [math] n ^ {th} [/ math] de [math] e ^ x [/ math] es solo [math] e ^ x [/ math], y [math] e ^ 0 = 1 [/ matemáticas]. Entonces tenemos
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[matemáticas] e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n!} [/ matemáticas]
Ahora, la fórmula de Euler dice que
[matemáticas] e ^ {ix} = \ cos (x) + i \ sin (x) [/ matemáticas]
que es una relación sorprendente entre la función exponencial y las funciones sinusoidales. En nuestra serie taylor anterior, podemos conectar [math] ix [/ math] para que [math] x [/ math] obtenga
[matemáticas] e ^ {ix} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(ix) ^ n} {n!} [/ matemáticas]
o usando la fórmula de Euler,
[matemáticas] \ cos (x) + i \ sin (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {i ^ n} {n!} x ^ n [/ matemáticas]
En el lado derecho, cuando [math] n [/ math] es par, el término correspondiente es un número real. Cuando [math] n [/ math] es impar, ese término es imaginario. Por lo tanto, combinando las partes reales e imaginarias de ambos lados, obtenemos
[matemáticas] \ cos (x) = \ sum_ {n = 0,2,4,…} ^ {\ infty} \ frac {i ^ n} {n!} x ^ n [/ matemáticas]
y
[matemáticas] i \ sin (x) = \ sum_ {n = 1,3,5,…} ^ {\ infty} \ frac {i ^ n} {n!} x ^ n [/ matemáticas]
o usando [math] i = \ sqrt {-1} [/ math],
[matemáticas] \ cos (x) = \ sum_ {n = 0,2,4,…} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {n / 2}} {n!} x ^ n [/ matemáticas]
y
[matemáticas] \ sin (x) = \ sum_ {n = 1,3,5,…} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {(n-1) / 2}} {n!} x ^ n [/ matemáticas]