¿Cuál es el valor de la integral [matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ pi / 4} \ frac {\ sin x + \ cos x} {9 + 16 \ cos 2x} \, dx [/ matemáticas]?

Proporcionaré la solución, obtenida con la ayuda de Mathematica, y basada e inspirada en la solución (detallada) de Wolfram alpha.
La integración es el proceso inverso de diferenciación. Una integral indefinida también se llama anti-derivada. Cuando dos funciones tienen la misma derivada, generalmente difieren entre sí por una constante.
En el caso de la integral presentada en la pregunta, primero encontramos la solución para la integral indefinida y luego resolvemos la integral definida para los límites de integración dados.
La solución simbólica y la solución numérica de la integral en la pregunta se obtendrán al final de los cálculos.

Los principios de integración fueron formulados independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz a fines del siglo XVII, quienes consideraron la integral como una suma infinita de rectángulos de ancho infinitesimal. Bernhard Riemann dio una definición matemática rigurosa de la integral. Se basa en un procedimiento limitante que se aproxima al área de una región curvilínea dividiendo la región en finas losas verticales. A partir del siglo XIX, comenzaron a aparecer nociones más sofisticadas de integrales, donde se generalizó el tipo de función y el dominio sobre el que se realiza la integración. Una integral de línea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [ a , b ] se reemplaza por una cierta curva que conecta dos puntos en el plano o en el espacio. En una integral de superficie, la curva se reemplaza por una parte de una superficie en el espacio tridimensional.

Fuente: Integral

Comenzamos expandiendo la función dada para integrar para obtener:


Integrando término por término (llamamos la integral I):


Usando la fórmula de doble ángulo

[matemáticas] \ cos (2 x) = 2 \ cos ^ 2 (x) – 1 [/ matemáticas],

obtenemos :


Para el primer integrando anterior, sustituimos:
para obtener:


Factorizando 7 del denominador que obtenemos para I:


Y factorizando las constantes:

Con respecto al primer integrando, sustituimos:
y obtenemos:


La integral de 1 / (1-s ^ 2) es arctanh (s) ,


Luego escribimos:
y obtenemos:


Reescribimos:

Llegar:

Para el integrando anterior bajo el signo integral, sustituimos p = sin (x) y dp = cos (x) dx y obtenemos:


Factorizamos 25 a partir del denominador:


Y factorizamos las constantes para obtener:


Para el integrando bajo el signo integral, sustituimos:

y obtenemos:


La integral de 1 / (1-w ^ 2)] es arctanh (w) ,
por lo tanto tenemos ahora:


Sustituyendo de nuevo obtenemos:


Sustituyendo de nuevo por p = sin (x):


Sustituyendo la primera fracción anterior:


Sustituyendo de nuevo por u = cos (x):


Podemos factorizar la respuesta de una manera diferente para obtener:


Esto es equivalente para valores x restringidos a (la solución):


Ahora podemos encontrar el valor de la integral definida con los límites de integración dados. Obtenemos con la ayuda de Mathematica:


Simplificando completamente obtenemos la respuesta numérica final:


Como beneficio adicional, aquí está la representación visual de la integral (de Wolfram Alpha):


Las técnicas generales de integración generalmente incluyen sustituciones trigonométricas, integrales como límites de sumas (infinitas), integrales trigonométricas (usando identidades trigonométricas), funciones racionales con expansión o descomposición de fracciones parciales, sustitución de medio ángulo tangente, regla de cadena inversa, etc.

A2A!
Escriba la integral como dos términos – [matemática] sinx / (9 + 16cos2x) + cosx / (9 + 16cos2x) [/ matemática]

Luego use [math] \ cos2x = 2 \ cos ^ 2x – 1 [/ math] en el primer término y [math] \ cos2x = 1-2 \ sin ^ 2x [/ math] en el segundo término.

Utilice [math] cosx = t [/ math] para la primera parte y [math] sinx = u [/ math] para la segunda.

A continuación, debe resolverlo utilizando el método de fracción parcial para la integración y finalmente poner los límites.

Un problema similar (reemplazar [math] \ cos2x [/ math] por [math] \ sin2x [/ math]) que le interesaría se puede encontrar aquí:

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {4}} {\ dfrac {\ sen x + \ cos x} {9 + 16 \ cos 2x} \, dx} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {4}} {\ dfrac {\ sin x} {9 + 16 (2 \ cos ^ 2 x-1)} \, dx} + \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {4}} {\ dfrac {\ cos x} {9 + 16 (1–2 \ sin ^ 2 x)} \, dx} [/ math]

Deje que [matemáticas] u = \ cos x \ implica du = – \ sin x \, dx, x = \ left [0, \ dfrac {\ pi} {4} \ right] \ implica u = \ left [1, \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ right] [/ math]

Deje que [matemáticas] v = \ sin x \ implica dv = \ cos x \, dx, x = \ left [0, \ dfrac {\ pi} {4} \ right] \ implica v = \ left [0, \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ right] [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {1} ^ {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {\ dfrac {du} {7–32u ^ 2}} = \ dfrac {1} {8 \ sqrt { 14}} \ left [\ ln \ left | \ dfrac {\ sqrt {7} +4 \ sqrt {2} u} {\ sqrt {7} -4 \ sqrt {2} u} \ right | \ right] _ {1} ^ {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} = \ dfrac {1} {8 \ sqrt {14}} \ left [\ ln | \ sqrt {7} +4 | – \ ln | \ sqrt {7} -4 | – \ ln | \ sqrt {7} +4 \ sqrt {2} | + \ ln | \ sqrt {7} -4 \ sqrt {2} | \ right] [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {\ dfrac {dv} {25–32v ^ 2}} = \ dfrac {\ ln 9} {40 \ sqrt {2}} [/ math]

Sumando ambos resultados juntos …

tenemos

More Interesting

Sea P (x) el polinomio de menor grado con coeficientes reales de modo que P (i) = P (1 + i) = 0 y P (1) = 4. ¿Cómo encuentro P (2)?

¿Por qué algunos gráficos pasan a través de sus asíntotas horizontales aunque no se supone que haya un valor? ¿Se supone que tienden hacia el infinito en ese punto?

¿Cómo funciona [math] \ displaystyle \ int \ frac {\ mathrm du} {\ sqrt {a ^ 2-u ^ 2}} = \ arcsin \ frac {u} {a} + C [/ math]

¿Cuál es el valor mínimo de [math] a> 0 [/ math] para el cual [math] \ int _ {0} ^ {a} \ left \ lfloor {\ tan ^ {- 1} \ sqrt {x}} \ right \ rfloor dx = \ int _ {0} ^ {a} \ left \ lfloor {\ cot ^ {- 1} \ sqrt {x}} \ right \ rfloor dx [/ math]?

Cómo resolver la ecuación sin2x = cos3x

¿Cuál es el teorema de Thevenin?

Cuando encontraron la derivada de 3 | x | en x = -2 en este problema, ¿por qué fue el 3 de 3 | x | usado como multiplicador en lugar de usar el opuesto 3 de 3 como representación de la pendiente en x = -2 (a la izquierda del vértice)?

¿Existen términos generales para las expansiones de las series seno y coseno? [matemáticas] \ sin x = x – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} – \ frac {x ^ 7} {7!} + \ ldots [/ math ] Y [matemáticas] \ cos x = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} – \ frac {x ^ 6} {6!} + \ Ldots [ /matemáticas]

¿Cuál es la ecuación general de una espiral 2-d en el plano xy centrada en el origen?

Mucha gente de software que conozco odia las matemáticas. Viniendo de un fondo matemático, esto me parece realmente extraño. Una base matemática sólida facilita mucho la CS. ¿Por qué la gente de software odia las matemáticas?